Обим и површина правилног многоугла

Дефиниције, формуле, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Дужина странице правилног многоугла је 6cm, а дужина

полупречника уписаног круга је 8cm. Израчунати обим и

површину, ако је у питању:

а) седмоугао б) деветоугао.

Пр.2) Колико страница има правилан многоугао чија је површина

60 $c{m^2}$ дужина странице 4cm, a дужина полупречника

уписаног круга 6cm? Колики је његов обим?

Пр.3) Обим правилног седмоугла је 56cm, а пречник уписаног круга

је 24cm.Израчунати његову површину.

Пр.4) Обим правилног осмоугла је 80cm, а полупречник описаног

круга је 13cm. Израчунати његову површину.

Пр.1)

а)

$\begin{aligned}&n = 7 \\ &a = 6cm \\ &\underline {{r_u} = 8cm} \\ &O,P = ? \\ & \\ &O = n \cdot a \\ &O = 7 \cdot 6 = 42cm \\ & \\ &P = n\frac{{a \cdot {r_u}}}{2} \\ &P = 7 \cdot \frac{{6 \cdot 8}}{2} = 168c{m^2}\end{aligned}$

б)

$\begin{aligned}&n = 9 \\ &a = 6cm \\ &\underline {{r_u} = 8cm} \\ &O,P = ? \\ & \\ &O = n \cdot a \\ &O = 9 \cdot 6 = 54cm \\ & \\ &P = n\frac{{a \cdot {r_u}}}{2} \\ &P = 9 \cdot \frac{{6 \cdot 8}}{2} = 216c{m^2}\end{aligned}$

Пр.2)

$\begin{aligned}&P = 60c{m^2} \\ &a = 6cm \\ &\underline {{r_u} = 8cm} \\ &n,O = ? \\ & \\ &P = n\frac{{a \cdot {r_u}}}{2} \\ &60 = n \cdot \frac{{4 \cdot 6}}{2} \\ &60 = n \cdot 12 \\ &n = \frac{{60}}{{12}} = 5c{m^2} \\ & \\ &O = n \cdot a \\ &O = 5 \cdot 4 = 20cm\end{aligned}$

Пр.3)

$\begin{aligned}&O = 56cm \\ &n = 7 \\ &\underline {{R_u} = 24cm} \\ &P = ? \\ & \\ &O = n \cdot a \\ &56 = 7 \cdot a \\ &a = 8cm \\ &{R_u} = 2{r_u} \\ &24 = 2{r_u} \\ &{r_u} = 12cm \\ &P = n\frac{{a \cdot {r_u}}}{2} \\ &P = 7 \cdot \frac{{8 \cdot 12}}{2} \\ &P = 7 \cdot 48 \\ &P = 336c{m^2}\end{aligned}$

Пр.4)

619 png

$\begin{aligned}&O = 80cm \\ &n = 8 \\ &\underline {{r_o} = 13cm} \\ &P = ? \\ & \\ &O = n \cdot a \\ &80 = 8 \cdot a \\ &a = 10cm \\ &r_o^2 = r_u^2 + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &169 = r_u^2 + 25 \\ &r_u^2 = 169 - 25 \\ &r_u^2 = 144 \\ &{r_u} = 12cm \\ &P = n\frac{{a \cdot {r_u}}}{2} \\ &P = 8 \cdot \frac{{10 \cdot 12}}{2} \\ &P = 8 \cdot 60 \\ &P = 480c{m^2}\end{aligned}$

Обим правилног $n$ -тоугла странице $a$ је $O = n \cdot a$ . За површину спојите центар са свим теменима: многоугао се дели на $n$ једнаких једнакокраких троуглова. Основица сваког је $a$ , а висина је полупречник уписаног круга $r_u$ , па је $P = n \cdot \frac{a \cdot r_u}{2}$ , што је исто што и $P = \frac{O \cdot r_u}{2}$ .

Ако је дат полупречник описаног круга $r_o$ , полупречник $r_u$ добијате Питагорином теоремом: $r_o^2 = r_u^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ . Ако је дат пречник уписаног круга, $r_u$ је његова половина. Формула ради и обрнуто: из $P$ , $a$ и $r_u$ добијате број страница $n$ . Најчешћа грешка је да се заборави дељење са 2.

Број страница n8

Страница a25 cm

Обим O = n · a: 200 cm
Полупречник rᵤ: 30,2 cm
Један троугао: 377,5 cm²
Површина P: 3020 cm²

Сиве дужи деле многоугао на

n

једнаких троуглова, а зелена дуж је висина једног од њих,

r_u

. Површина је

n

пута површина једног троугла; почетне вредности су мере знака из примера.

Ко прави предмете облика правилног многоугла, рачуна обим и површину: колико лајсне иде око осмоугаоног стола, колико лима треба за саобраћајни знак или колико боје за шестоугаону терасу.

Лим за знак „стоп“

Саобраћајни знак „стоп“ има облик правилног осмоугла. Један такав знак има страницу 25 cm, а растојање од центра до сваке странице, тј. полупречник уписаног круга, износи 30,2 cm. Колики је обим знака и колико лима треба за њега?

Решење

Обим је $O = n \cdot a = 8 \cdot 25 = 200$ cm.
Дужи из центра ка теменима деле осмоугао на 8 једнаких троуглова са основицом $a = 25$ cm и висином $r_u = 30{,}2$ cm.
Површина једног троугла је $\frac{a \cdot r_u}{2} = \frac{25 \cdot 30{,}2}{2} = 377{,}5$ cm².
Површина знака је $P = 8 \cdot 377{,}5 = 3020$ cm².

Одговор: Обим знака је 200 cm, а за њега треба 3020 cm² лима, што је око 0,3 m².

Задатак за вежбу

Правилан петоугао има страницу 10 cm, а полупречник уписаног круга 6,9 cm. Израчунајте његов обим и површину.

Прикажи решење

$O = 5 \cdot 10 = 50$ cm, а $P = 5 \cdot \frac{10 \cdot 6{,}9}{2} = 172{,}5$ cm².