Примена Питагорине теореме на трапез 2

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Површина једнакокракок трапеза је $120c{m^2}$. Ако се основице

           разликују 12cm, а висина 8cm, израчунати обим тог трапеза.

Пр.2)   Једна основица правоуглог трапеза износи три половине друге.

           Ако је висина тог трапеза 4cm, а крак 5cm, израчунати обим и

           површину тог трапеза.

Пр.3)   Крак једнакокраког трапеза је 6cm, краћа основица 7cm, а један

           унутрашњи угао од ${30^ \circ }$. Израчунати површину тог трапеза.

Пр.4)   Квадрат и једнакокраки трапез имају једнаке површине која

           износи $225c{m^2}$. Крак трапеза једнак је страници квадрата. Ако је

           висина трапеза 9cm, а основица 8cm, израчунати разлику обима

           квадрата и трапеза.

Пр.1)   

$$\begin{aligned}&P = 120c{m^2} \\ &a - b = 12cm \\ &\underline {h = 8cm} \\ &O = ? \\ & \\ &{c^2} = {h^2} + {\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2} \\ &{c^2} = {8^2} + {\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2} \\ &{c^2} = 64 + {6^2} \\ &{c^2} = 64 + 36 \\ &{c^2} = 100 \\ &c = 10cm \\ &P = \frac{{a + b}}{2}h \\ &120 = \frac{{a + b}}{2} \cdot 8 \\ &a + b = \frac{{120}}{4} \\ &\left. \begin{aligned}&a + b = 30cm \\ &a - b = 12cm\end{aligned} \right\} \Rightarrow a = 12 + b \\ &12 + b + b = 30 \\ &2b = 30 - 12 \\ &2b = 18 \\ &b = 9cm \\ &a = 30 - 9 = 21cm \\ &O = 2c + a + b = 20 + 30 = 50cm\end{aligned}$$

Пр.2)

$$\begin{aligned}&a = \frac{3}{2}b \\ &c = 5cm \\ &\underline {h = 4cm} \\ &O = ?P = ? \\ & \\ &{c^2} = {h^2} + {\left( {a - b} \right)^2} \\ &{5^2} = {4^2} + {\left( {a - b} \right)^2} \\ &{\left( {a - b} \right)^2} = - 16 + 25 \\ &{\left( {a - b} \right)^2} = 9 \\ &a - b = 3 \\ &\frac{3}{2}b - b = 3 \\ &\frac{1}{2}b = 3 \\ &b = 6cm \\ &a = \frac{3}{2}b \\ &a = \frac{3}{2} \cdot 6 \\ &a = 9cm \\ &P = \frac{{a + b}}{2}h \\ &P = \frac{{9 + 6}}{2} \cdot 4 \\ &P = 15 \cdot 2 = 30c{m^2} \\ &O = h + c + a + b = 4 + 5 + 9 + 6 = 24cm\end{aligned}$$

Пр.3)   

$$\begin{aligned}&c = 6cm \\ &b = 7cm \\ &\underline {\alpha = {{30}^ \circ }} \\ &P = ? \\ & \\ &P = \frac{{a + b}}{2}h \\ &h = \frac{c}{2} = \frac{6}{2} = 3cm \\ &\frac{{a - b}}{2} = \frac{{c\sqrt 3 }}{2} \\ &\frac{{a - 7}}{2} = \frac{{6\sqrt 3 }}{2} \\ &a - 7 = 6\sqrt 3 \\ &a = 6\sqrt 3 + 7cm \\ &P = \frac{{6\sqrt 3 + 7 + 7}}{2} \cdot 3 = \frac{{6\sqrt 3 + 14}}{2} \cdot 3 = 21 + 9\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.4)   

$$\begin{aligned}&{P_k} = {P_t} = 225c{m^2} \\ &c = {a_k} \\ &b = 8cm \\ &\underline {h = 9cm} \\ &{O_t} - {O_k} = ? \\ & \\ &{P_k} = {a_k}^2 \\ &225 = {a_k}^2 \\ &{a_k} = 15cm \\ &{O_k} = 4{a_k} = 4 \cdot 15 = 60cm \\ &{O_t} = a + b + 2c \\ &{c^2} = {h^2} + {\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2} \\ &{15^2} = {9^2} + {\left( {\frac{{a - 8}}{2}} \right)^2} \\ &225 = 81 + {\left( {\frac{{a - 8}}{2}} \right)^2} \\ &{\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2} = 144 \\ &\frac{{a - b}}{2} = 12 \\ &\frac{{a - 8}}{2} = 12 \\ &a - 8 = 12 \cdot 2 \\ &a - 8 = 24 \\ &a = 32cm \\ &{O_t} = 32 + 8 + 2 \cdot 15 = 70cm \\ &{O_t} - {O_k} = 70 - 60 = 10cm\end{aligned}$$

Питање за размишљање: Шта није у реду код овог решења и зашто?