Разлика квадрата

Дефиниција, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Помножимо следеће полиноме:

а) $x - 2$ и $x + 2$

б) $3x + 4$ и $3x - 4$

Пр.2) Применом формуле за разлику квадрата решити:

а) $\left( {x + 3} \right) \cdot \left( {x - 3} \right)$

б) $\left( {5x + 7} \right) \cdot \left( {5x - 7} \right)$

в) $\left( {x - 2y} \right) \cdot \left( {x + 2y} \right)$

г)

\left( {1\frac{3}{4}a - 0,5b} \right) \cdot \left( {1\frac{3}{4}a + 0,5b} \right)

д)

\left( {3{x^2} - 2} \right) \cdot \left( {3{x^2} + 2} \right)

ђ)

\left( {3{x^2} - 2{y^2}} \right) \cdot \left( {3{x^2} + 2{y^2}} \right)

Пр.3) Решите једначину.

x\left( {4x - 3} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = 10

Пр.4) Доказати да је

\left( {{x^2} + 9} \right) \cdot \left( {x - 3} \right) \cdot \left( {x + 3} \right) = {x^4} - 81

.

Пр.5) Ако је

A = 2x + 3,B = 3x + 2

и

C = 2x - 3

, израчунати:

а)

B - A \cdot C

б)

C \cdot A + 2B

Пр.1) Помножимо следеће полиноме:

а) $\left( {x{\text{ }} - {\text{ }}2} \right)\left( {x{\text{ }} + {\text{ }}2} \right) = {x^2} - {2^2} = {x^2} - 4$

б) $\left( {3x + 4} \right)\left( {3x - 4} \right) = {\left( {3x} \right)^2} - {4^2} = 9{x^2} - 16$

Пр.2) Применом формуле за разлику квадрата решити:

а) $\left( {x + 3} \right) \cdot \left( {x - 3} \right) = {x^2} - {3^2} = {x^2} - 9$

б) $\left( {5x + 7} \right) \cdot \left( {5x - 7} \right) = {\left( {5x} \right)^2} - {7^2} = 25{x^2} - 49$

в) $\left( {x - 2y} \right) \cdot \left( {x + 2y} \right) = {x^2} - {\left( {2y} \right)^2} = {x^2} - 4{y^2}$

г)

\left( {1\frac{3}{4}a - 0,5b} \right) \cdot \left( {1\frac{3}{4}a + 0,5b} \right) = {\left( {1\frac{3}{4}a} \right)^2} - {\left( {0,5b} \right)^2} = {\left( {\frac{7}{4}a} \right)^2} - {\left( {0,5b} \right)^2} =

= \frac{{49}}{{16}}{a^2} - 0,25{b^2}

д)

\left( {3{x^2} - 2} \right) \cdot \left( {3{x^2} + 2} \right) = 9{x^4} - 4

ђ)

\left( {3{x^2} - 2{y^2}} \right) \cdot \left( {3{x^2} + 2{y^2}} \right) = 9{x^4} - 4{y^4}

Пр.3) Решите једначину.

$\begin{aligned}&x\left( {4x - 3} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = 10 \\ &4{x^2} - 3x - \left( {4{x^2} - 1} \right) = 10 \\ &4{x^2} - 3x - 4{x^2} + 1 = 10 \\ &- 3x + 1 = 10 \\ &- 3x = 9 \\ &x = - 3\end{aligned}$

Пр.4)

$\begin{aligned}&\left( {{x^2} + 9} \right) \cdot \left( {x - 3} \right) \cdot \left( {x + 3} \right) = {x^4} - 81 \\ &\left( {{x^2} + 9} \right) \cdot \left( {x - 3} \right) \cdot \left( {x + 3} \right) = \left( {{x^2} + 9} \right) \cdot \left( {{x^2} - 9} \right) = {x^4} - 81 \\ &{x^4} - 81 = {x^4} - 81\end{aligned}$

Пр.5)

$\begin{aligned}&A{\text{ }} = {\text{ }}2x{\text{ }} + {\text{ }}3 \\ &B{\text{ }} = {\text{ }}3x{\text{ }} + {\text{ }}2 \\ &C{\text{ }} = {\text{ }}2x{\text{ }} - {\text{ }}3 \\ & \\ &B - A \cdot C = \left( {3x{\text{ }} + {\text{ }}2} \right) - \left( {2x{\text{ }} + {\text{ }}3} \right)\left( {2x{\text{ }} - {\text{ }}3} \right) = \left( {3x{\text{ }} + {\text{ }}2} \right) - \left( {4{x^2}{\text{ }} - {\text{ }}9} \right) = \\ &= 3x{\text{ }} + {\text{ }}2 - 4{x^2}{\text{ }} + {\text{ }}9 = - 4{x^2}{\text{ }} + 3x{\text{ }} + {\text{ }}11 \\ & \\ &C \cdot A + 2B = \left( {2x{\text{ }} - {\text{ }}3} \right)\left( {2x{\text{ }} + {\text{ }}3} \right) + 2\left( {3x{\text{ }} + {\text{ }}2} \right) = 4{x^2}{\text{ }} - {\text{ }}9 + 6x{\text{ }} + {\text{ }}4 = \\ &= 4{x^2}{\text{ }} + 6x{\text{ }} - 5\end{aligned}$

Производ збира и разлике истих чланова једнак је разлици њихових квадрата: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ . Кад помножите сваки са сваким, средњи чланови се пониште: $a^2 + ab - ab - b^2$ . Зато је $(x - 6)(x + 6) = x^2 - 36$ и $(3x + 2y)(3x - 2y) = 9x^2 - 4y^2$ .

Пазите да квадрирате цео члан: $(5x)^2 = 25x^2$ , а не $5x^2$ . Формула важи само кад се заграде разликују једино у знаку између чланова, па $(x - 3)(x + 5)$ није разлика квадрата. Изрази $(a - b)(a + b)$ и $(a + b)(a - b)$ дају исто, јер редослед чинилаца није важан. Важи и са разломцима: $\left(\frac{1}{2}x - 1\right)\left(\frac{1}{2}x + 1\right) = \frac{1}{4}x^2 - 1$ . Користи се и за рачунање напамет: $31 \cdot 29 = (30 + 1)(30 - 1) = 900 - 1 = 899$ . У једначинама прво примените формулу, па средите.

Страница a12

Исечено b4

a² − b²: 128
(a − b)(a + b): 128
Исечени квадрат b²: 16

Из квадрата

a^2

исечен је квадрат

b^2

. Преостали део се преслаже у правоугаоник са страницама

a - b

и

a + b

, па је

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

. За њиву из примера поставите

a = 40

и

b = 3

.

Разлика квадрата служи за брзо множење напамет бројева близу округлог броја, а у геометрији показује зашто од свих правоугаоника истог обима квадрат има највећу површину.

Замена њиве

Комшија нуди Милану замену: Миланову квадратну њиву странице 40 m за своју правоугаону њиву од 43 m × 37 m. Обе имају исти обим. Која њива је већа и за колико?

Решење

Мере правоугаоне њиве су $40 + 3$ и $40 - 3$ , па је њена површина $(40 + 3)(40 - 3)$ .
По формули за разлику квадрата: $(40 + 3)(40 - 3) = 40^2 - 3^2 = 1600 - 9 = 1591$ m².
Квадратна њива има $40^2 = 1600$ m², па је већа за $3^2 = 9$ m².
Провера обима: $4 \cdot 40 = 160$ m и $2 \cdot (43 + 37) = 160$ m.

Одговор: Миланова квадратна њива је већа за 9 m²: има 1600 m², а комшијина 1591 m².

Задатак за вежбу

Без калкулатора израчунајте $103 \cdot 97$ .

Прикажи решење

$103 \cdot 97 = (100 + 3)(100 - 3) = 100^2 - 3^2 = 10\,000 - 9 = 9991$ .