Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Квадратни корен

Квадратни корен. Дефиниција и решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Израчунати дужину странице квадрата чија је површина 81cm281c{m^2}.

Пр.2)   Решити једначину x2=49{x^2} = 49.

Пр.3)   Израчунати:

           а) 64=\sqrt {64} =

           б) 225=\sqrt {225} =

           в) 0,01=\sqrt {0,01} =

           г) 2249=\sqrt {2\frac{2}{{49}}} =

Пр.4)   Израчунати:

           а) 1+114−113−129=\sqrt {1 + 1\frac{1}{4}} - \sqrt {1\frac{1}{3} - 1\frac{2}{9}} =

           б) (225−316)⋅(264−9121)=\left( {\sqrt {225} - 3\sqrt {16} } \right) \cdot \left( {2\sqrt {64} - 9\sqrt {121} } \right) =

           в) 34179+1216=\frac{3}{4}\sqrt {1\frac{7}{9}} + \frac{1}{2}\sqrt {16} =

           г) 25614+1416−20,04=\frac{2}{5}\sqrt {6\frac{1}{4}} + \frac{1}{4}\sqrt {16} - 2\sqrt {0,04} =

Пр.1)   P=81cm2P = 81c{m^2}

a=?‾\underline {a = ?}

P=a2P = {a^2}

81=a281 = {a^2}

81=92a=9cm81=(−9)2a=−9\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&81 = {9^2} \\ &\boxed{a = 9cm}\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&81 = {\left( { - 9} \right)^2} \\ &a = - 9\end{aligned} \end{array}

Пр.2)   

x2=4972=49(−7)2=49x=7x=−7x2=49x=±49x=±7\begin{aligned}&{x^2} = 49 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{7^2} = 49}&{}&{{{\left( { - 7} \right)}^2} = 49} \end{array} \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x = 7}&{}&{x = - 7} \end{array} \\ & \\ &{x^2} = 49 \\ &x = \pm \sqrt {49} \\ &x = \pm 7\end{aligned}

Пр.3)   

64=8225=150,01=0,125121=5112249=10049=10049=107=137\begin{aligned}&\sqrt {64} = 8 \\ &\sqrt {225} = 15 \\ &\sqrt {0,01} = 0,1 \\ &\sqrt {\frac{{25}}{{121}}} = \frac{5}{{11}} \\ &\sqrt {2\frac{2}{{49}}} = \sqrt {\frac{{100}}{{49}}} = \frac{{\sqrt {100} }}{{\sqrt {49} }} = \frac{{10}}{7} = 1\frac{3}{7}\end{aligned}

Пр.4)   

169+14144−349=13+14⋅12−3⋅23=13+3−2=141+114−113−129=214−139−129=94−19=32−13==96−26=76=116(225−316)⋅(264−9121)=(15−3⋅4)⋅(2⋅8−9⋅11)==3(−83)=−24934179+1216=34⋅169+12⋅4=34⋅43+2=1+2=325614+1416−20,04=25254+14⋅4−2⋅0,2==25⋅52+1−0,4=1,6\begin{aligned}&\sqrt {169} + \frac{1}{4}\sqrt {144} - 3\sqrt {\frac{4}{9}} = 13 + \frac{1}{4} \cdot 12 - 3 \cdot \frac{2}{3} = 13 + 3 - 2 = 14 \\ & \\ &\sqrt {1 + 1\frac{1}{4}} - \sqrt {1\frac{1}{3} - 1\frac{2}{9}} = \sqrt {2\frac{1}{4}} - \sqrt {1\frac{3}{9} - 1\frac{2}{9}} = \sqrt {\frac{9}{4}} - \sqrt {\frac{1}{9}} = \frac{3}{2} - \frac{1}{3} = \\ &= \frac{9}{6} - \frac{2}{6} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \\ & \\ &\left( {\sqrt {225} - 3\sqrt {16} } \right) \cdot \left( {2\sqrt {64} - 9\sqrt {121} } \right) = \left( {15 - 3 \cdot 4} \right) \cdot \left( {2 \cdot 8 - 9 \cdot 11} \right) = \\ &= 3\left( { - 83} \right) = - 249 \\ & \\ &\frac{3}{4}\sqrt {1\frac{7}{9}} + \frac{1}{2}\sqrt {16} = \frac{3}{4} \cdot \sqrt {\frac{{16}}{9}} + \frac{1}{2} \cdot 4 = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} + 2 = 1 + 2 = 3 \\ & \\ &\frac{2}{5}\sqrt {6\frac{1}{4}} + \frac{1}{4}\sqrt {16} - 2\sqrt {0,04} = \frac{2}{5}\sqrt {\frac{{25}}{4}} + \frac{1}{4} \cdot 4 - 2 \cdot 0,2 = \\ &= \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} + 1 - 0,4 = 1,6\end{aligned}

Квадратни корен ненегативног броја aa је ненегативан број чији је квадрат aa. Тако је 64=8\sqrt{64} = 8, јер је 82=648^2 = 64. Корен из негативног броја не постоји, јер ниједан квадрат није негативан.

Једначина x2=ax^2 = a, за a>0a > 0, има два решења, x=±ax = \pm\sqrt{a}: из x2=49x^2 = 49 следи x=7x = 7 или x=−7x = -7. Кад је xx дужина, остаје само позитивно решење, па квадрат површине 81 cm² има страницу 9 cm. Мешовити број пре кореновања претворите у неправи разломак: 2249=10049=107\sqrt{2\frac{2}{49}} = \sqrt{\frac{100}{49}} = \frac{10}{7}. Честа грешка је писати 49=±7\sqrt{49} = \pm 7: корен је само 77, а знак ±\pm припада решењима једначине.

a = 8,5 m
72,25 m²
Страница a = √P
8,5 m
Обим O = 4a
34 m
Страница је увек P\sqrt{P}. Кад је PP квадрат рационалног броја, као 49, 64 или 72,25, страница се добија тачно, без заокруживања. За P=50P = 50 страница је 50≈7,07\sqrt{50} \approx 7{,}07 и мора да се заокружи.

Корен враћа дужину из површине: тако се из површине квадратне парцеле, собе или терасе добија дужина странице, а тиме и колико ограде, лајсни или ивичњака треба.

Ограда око баште

Башта има облик квадрата површине 72,25 m². Колико метара жице треба да се башта огради једним редом жице?

Решење

  1. Из P=a2P = a^2 следи a2=72,25a^2 = 72{,}25. Једначина има решења ±72,25\pm\sqrt{72{,}25}, али страница је позитивна, па је a=72,25a = \sqrt{72{,}25}.
  2. Пошто је 8,52=8,5⋅8,5=72,258{,}5^2 = 8{,}5 \cdot 8{,}5 = 72{,}25, страница је a=8,5a = 8{,}5 m.
  3. Обим квадрата је O=4a=4⋅8,5=34O = 4a = 4 \cdot 8{,}5 = 34 m.

Одговор: За ограду око баште потребно је 34 m жице.

Задатак за вежбу

Решите једначину x2=1,44x^2 = 1{,}44 и израчунајте 279\sqrt{2\frac{7}{9}}.

Прикажи решење

x=±1,44=±1,2x = \pm\sqrt{1{,}44} = \pm 1{,}2, тј. x=1,2x = 1{,}2 или x=−1,2x = -1{,}2. 279=259=53=123\sqrt{2\frac{7}{9}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}.