Степен чији је изложилац цео број

Дефиниције и решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

1. Израчунати:

(а) 3⁴ =

(б) (– 4)³ =

(в) (– 1)⁵ =

2. Израчунати:

(а) (– 2)³ =

(б) (– 2)⁴ =

(в) (– 2)⁵ =

(г) (– 2)⁶ =

3. Израчунати:

(а) (– 2)⁴ =

(б) – 2⁴ =

(в) – (– 2)⁴ =

(г) – (– 2⁴) =

4. Израчунати:

(а) – 2 + 3³ – 5²

(б) (– 2)³ (– 3)²

(в) (– 1)⁵ : (– 2)³ + 5 : 2³

(г) ${\left( { - 3} \right)^2} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - {2^3}$

Пр.1)

а) ${3^4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

б) ${\left( { - 4} \right)^3} = - 4 \cdot \left( { - 4} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = - 64$

в) ${\left( { - 1} \right)^5} = - 1 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = - 1$

Пр.2)

а) ${\left( { - 2} \right)^3} = - 2 \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) = - 8$

б) ${\left( { - 2} \right)^4} = - 2 \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) = 16$

в) ${\left( { - 2} \right)^5} = - 2 \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) = - 32$

г) ${\left( { - 2} \right)^6} = - 2 \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) = 64$

Пр.3)

а) ${\left( { - 2} \right)^4} = - 2 \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) = 16$

б) $- {2^4} = - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = - 16$

в) $- {\left( { - 2} \right)^4} = - \left( {\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right) = - 16$

г) $- \left( { - {2^4}} \right) = - \left( { - \left( {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \right)} \right) = - 16$

Пр.4)

а) $- 2 + {3^3} - {5^2} = - 2 + 3 \cdot 3 \cdot 3 - 5 \cdot 5 = - 2 + 27 - 25 = 0$

б) ${\left( { - 2} \right)^3} \cdot {\left( { - 3} \right)^2} = - 8 \cdot \left( { + 9} \right) = - 72$

в) ${\left( { - 1} \right)^5}:{\left( { - 2} \right)^3} + 5:{2^3} = - 1:\left( { - 8} \right) + 5:8 = \frac{1}{8} + \frac{5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

г) ${\left( { - 3} \right)^2} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - {2^3} =$

$= 9 + \left( {\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 } \right) - \left( {2\sqrt 2 } \right)\left( {2\sqrt 2 } \right) = 9 + 3 - 4 \cdot 2 = 4$

Степен $a^n$ , где је $n$ природан број, производ је $n$ једнаких чинилаца: $a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$ . Број $a$ је основа, а $n$ изложилац, и важи $a^1 = a$ . Тако је $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ , а не $2 \cdot 5 = 10$ .

Код негативне основе знак зависи од изложиоца: паран изложилац даје позитиван број, а непаран негативан. Зато је $(-2)^4 = 16$ , а $(-2)^5 = -32$ , док је $(-1)^n$ увек $1$ или $-1$ . Пазите на заграду: у $(-2)^4$ степенује се $-2$ , а у $-2^4$ само $2$ , па је $-2^4 = -16$ . У изразима се степени рачунају пре множења, дељења, сабирања и одузимања.

Основа b2

Изложилац n4

(−b)ⁿ: 16
−bⁿ: −16

За паран изложилац тачке

(-b)^n

и

-b^n

су на супротним странама нуле, а за непаран се поклапају. Зато је

(-2)^4 = 16

, а

-2^4 = -16

.

Степени описују све што се умножава истим бројем: удвостручавање слојева, деобу ћелија, број могућих шифри (ПИН од четири цифре има $10^4 = 10\,000$ могућности) и меморију рачунара, која се мери степенима двојке.

Пресавијање папира

Лист папира дебео је 0,1 mm. Кад се пресавије на пола, има 2 слоја, после другог пресавијања 4, па 8 и тако даље. Колико слојева има после 7 пресавијања и колико је дебео пресавијени папир?

Решење

Сваким пресавијањем број слојева се удвостручи, па после 7 пресавијања има $2^7$ слојева.
$2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$ .
Дебљина је $128 \cdot 0{,}1 = 12{,}8$ mm.

Одговор: После 7 пресавијања папир има 128 слојева и дебео је 12,8 mm, више од центиметра.

Задатак за вежбу

Израчунајте $-3^2 + (-2)^3 - (-1)^7$ .

Прикажи решење

$-9 + (-8) - (-1) = -9 - 8 + 1 = -16$ .