Ирационални бројеви

Ирационални бројеви. Дефиниција и решени задаци.

Ирационалан број не може да се запише као количник $\frac{p}{q}$ два цела броја. Његов децимални запис је бесконачан и непериодичан: $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ , и ниједна група цифара не понавља се унедоглед. Ирационални су $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ и уопште $\sqrt{n}$ кад природан број $n$ није квадрат природног броја, као и број $\pi$ . Рационални и ирационални бројеви заједно чине скуп реалних бројева $\mathbb{R}$ .

Дужина $\sqrt{2}$ постоји: то је дијагонала квадрата странице 1, а шестаром се преноси на бројевну праву. Честа грешка је писати $\sqrt{2} = 1{,}41$ или $\pi = 3{,}14$ : то су приближне вредности, па се пише $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ . Број $\sqrt{9} = 3$ је рационалан.

Страница a1

Дијагонала d = a√2: 1,41421
d² = 2a²: 2

За

a = 1

шестар преноси дијагоналу на бројевну праву тачно у тачку

\sqrt{2} \approx 1{,}41421

. Квадрат дијагонале,

d^2 = 2a^2

, увек је рационалан, а сама дијагонала

d = a\sqrt{2}

ирационална је за свако рационално

a

.

Листови папира формата А4, А3 и А5 имају однос страница $\sqrt{2}$ , па се при увећању са А4 на А3 ништа не одсеца. Инжењери и програмери рачунају са заокруженим вредностима бројева $\pi$ и $\sqrt{2}$ , на онолико децимала колико посао тражи.

Однос страница листа А4

Лист формата А4 има странице 210 mm и 297 mm. Кад се пресавије на пола, тако да се дужа страница преполови, добија се формат А5, истог облика као А4. Покажите да однос дуже и краће странице таквог листа мора бити $\sqrt{2}$ и проверите то на мерама листа А4.

Решење

Нека је $a$ дужа, а $b$ краћа страница. Половина листа има дужу страницу $b$ и краћу $\frac{a}{2}$ .
Облик је исти ако је однос страница исти: $\frac{a}{b} = \frac{b}{a : 2} = \frac{2b}{a}$ . Множењем обе стране са $ab$ добијамо $a^2 = 2b^2$ , тј. $\left(\frac{a}{b}\right)^2 = 2$ .
Зато је $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ . То је ирационалан број, па ниједан пар целих милиметара не даје тачно тај однос.
Провера: $297 : 210 \approx 1{,}4143$ , а $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$ . Мере листа А4 су заокружене на цео милиметар.

Одговор: Однос страница мора бити $\sqrt{2}$ , а мере листа А4 дају $297 : 210 \approx 1{,}414$ , што се са $\sqrt{2}$ поклапа на три децимале.

Задатак за вежбу

Који од бројева $\sqrt{16}$ , $\sqrt{12}$ , $0{,}\overline{3}$ , $\pi$ , $\sqrt{0{,}49}$ и $2 + \sqrt{5}$ су ирационални?

Прикажи решење

Ирационални су $\sqrt{12}$ , $\pi$ и $2 + \sqrt{5}$ . Остали су рационални: $\sqrt{16} = 4$ , $0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}$ и $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ .