Обим и површина правилног шестоугла.

Формуле и решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Дужина странице правилног шестоугла је 6cm. Израчунати:

а) обим,

б) површину,

в) дужину краће дијагонале,

г) дужину дуже дијагонале,

д) дужину полупречника описане кружнице,

ђ) дужину полупречника уписане кружнице.

Пр.2) Обим правилног шестоугла је 12cm. Израчунати површину

тог шестоугла.

Пр.3) Површина правилног шестоугла износи $24\sqrt 3 c{m^2}$ .

Израчунати дужину дуже дијагонале тог шестоугла.

Пр.4) Ако дужина полупречника уписане кружнице износи 6cm,

израчунати обим и површину тог шестоугла.

Пр.5) Квадрат и правилан шестоугао имају једнаке површине.

Ако је површина квадрата $108\pi c{m^2}$ , израчунати

површину шестоугла.

Пр.1)

$\begin{aligned}&\underline {a = 6cm} \\ &O,P,{d_m},{d_v},{r_o},{r_u} = ? \\ & \\ &O = 6 \cdot a \\ &O = 6 \cdot 6 \\ &O = 36cm \\ &P = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &P = 6 \cdot \frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &P = 6 \cdot \frac{{36\sqrt 3 }}{4} \\ &P = 54\sqrt 3 c{m^2} \\ &{d_m} = a\sqrt 3 \\ &{d_m} = 6\sqrt 3 cm \\ &{d_v} = 2a \\ &{d_v} = 2 \cdot 6 = 12cm \\ &{r_o} = a \\ &{r_o} = 6cm \\ &{r_u} = \frac{{{d_m}}}{2} \\ &{r_u} = \frac{{6\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 cm\end{aligned}$

Пр.2)

$\begin{aligned}&\underline {O = 12cm} \\ &P = ? \\ & \\ &O = 6 \cdot a \\ &12 = 6 \cdot a \\ &a = 2cm \\ &P = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &P = 6 \cdot \frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &P = 6 \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{4} \\ &P = 6\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned}$

Пр.3)

$\begin{aligned}&\underline {P = 24\sqrt 3 c{m^2}} \\ &{d_v} = ? \\ & \\ &P = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &24\sqrt 3 = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{24\sqrt 3 }}{6} \\ &\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \\ &{a^2}\sqrt 3 = 16\sqrt 3 \\ &{a^2} = 16 \\ &a = 4cm \\ &{d_v} = 2a \\ &{d_v} = 2 \cdot 4 = 8cm\end{aligned}$

Пр.4)

$\begin{aligned}&\underline {{r_u} = 6c{m^2}} \\ &O,P = ? \\ & \\ &{r_u} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ &6 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ &a\sqrt 3 = 12 \\ &a = \frac{{12}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{12\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }} = \frac{{12\sqrt 3 }}{3} = 4\sqrt 3 cm \\ &O = 6 \cdot a \\ &O = 6 \cdot 4\sqrt 3 \\ &O = 24\sqrt 3 cm \\ &P = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &P = 6 \cdot \frac{{{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &P = 6 \cdot \frac{{16 \cdot 3\sqrt 3 }}{4} \\ &P = 72\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned}$

Пр.5)

$\begin{aligned}&{O_k} = {O_6} \\ &\underline {{P_k} = 108c{m^2}} \\ &{P_6} = ? \\ & \\ &{P_k} = {a_k}^2 \\ &108 = {a_k}^2 \\ &{a_k} = 6\sqrt 3 cm \\ &{O_k} = 4 \cdot a \\ &{O_k} = 4 \cdot 6\sqrt 3 \\ &{O_k} = 24\sqrt 3 cm \\ &{O_6} = 24\sqrt 3 cm \\ &{O_6} = 6 \cdot a \\ &24\sqrt 3 = 6 \cdot a \\ &a = \frac{{24\sqrt 3 }}{6} = 4\sqrt 3 cm \\ &P = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &P = 6 \cdot \frac{{{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &P = 6 \cdot \frac{{16 \cdot 3\sqrt 3 }}{4} \\ &P = 72\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned}$

Правилан шестоугао се дужима из центра дели на 6 једнакостраничних троуглова са страницом $a$ : централни угао је $360^\circ : 6 = 60^\circ$ , а сви углови тих троуглова су по $60^\circ$ . Зато је полупречник описане кружнице $r_o = a$ , а полупречник уписане кружнице једнак је висини једног троугла, $r_u = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Обим је $O = 6a$ , а површина је шест површина једнакостраничног троугла: $P = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ . Дужа дијагонала пролази кроз центар и износи $2a$ , а краћа је двострука висина троугла, $a\sqrt{3}$ . Кад је дата површина, из $\frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = P$ прво нађите $a^2$ , па $a$ . Број $\sqrt{3}$ не заокружујте пре краја рачуна, иначе се грешка повећава.

Страница a15 cm

Обим 6a: 90 cm
Површина: 584,6 cm²
Краћа дијагонала: 25,98 cm
Дужа дијагонала: 30 cm

Испрекидане дужи деле шестоугао на 6 једнакостраничних троуглова, па је површина шест пута површина једног од њих. Дужа дијагонала је

2a

, а краћа

a\sqrt{3}

; почетна страница је 15 cm, као у примеру.

Правилни шестоуглови се слажу без празнина, па их има у саћу и у плочицама за под, а шестоугаона је и навртка. Мајстор из површине једне плочице рачуна колико плочица треба за под или терасу.

Шестоугаоне плочице на тераси

Терасу површине 6 m² треба поплочати плочицама облика правилног шестоугла странице 15 cm. Колика је површина једне плочице и колико најмање плочица треба?

Решење

Плочица се састоји од 6 једнакостраничних троуглова странице $a = 15$ cm.
Површина плочице је $P = 6 \cdot \frac{15^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6 \cdot 225\sqrt{3}}{4} = 337{,}5\sqrt{3} \approx 584{,}6$ cm².
Површина терасе је 6 m² $= 60\,000$ cm².
$60\,000 : 584{,}6 \approx 102{,}6$ , па цео број плочица мора бити бар 103.

Одговор: Једна плочица има око 584,6 cm², а за терасу треба најмање 103 плочице, не рачунајући резерву за сечење уз ивице.

Задатак за вежбу

Површина правилног шестоугла је $96\sqrt{3}$ cm². Колике су његова дужа и краћа дијагонала?

Прикажи решење

Из $\frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = 96\sqrt{3}$ следи $a^2 = 64$ , па је $a = 8$ cm. Дужа дијагонала је $2a = 16$ cm, а краћа $a\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \approx 13{,}9$ cm.