Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Сабирање и одузимање полинома

Решени задаци.

Задаци

Задаци које смо решили у видео лекцији:

1. Дати су полиноми P = 2x2 – 5x – 1,  Q = 4x2 – 7x – 3. Одредити:

(а) P + Q

(б) P – Q

(в) Q – P

 (г) – P – Q

2. Полиному 8x3 + 12x2 – 5x + 9 додати разлику бинома x + 2 и x3 + 9.

3. Збиру бинома x + 7 и 3 – x додати разлику истих бинома.

4. Решити једначине:

(а)   – 8x + (– 2x + 5) = 25          (б)      (5a – 3) – (– 10a + 9) = 48

5. Решити полиномне једначине:

(а) 4m2 + 3m – 7 + P = 10 – 8m + 3m2     (б) 5b2 + 2b + 7 – P = 7 + 3b + 6b2

1. Дати су полиноми P = 2x2 – 5x – 1,  Q = 4x2 – 7x – 3. Одредити:

(а) 

P+Q=2x2−5x−1+4x2−7x−3=6x2−12x−4P + Q = 2{x^2} - 5x - 1 + 4{x^2} - 7x - 3 = 6{x^2} - 12x - 4

(б) 

P−Q=2x2−5x−1−(4x2−7x−3)==2x2−5x−1−4x2+7x+3=−2x2+2x+2\begin{aligned}&P - Q = 2{x^2} - 5x - 1 - \left( {4{x^2} - 7x - 3} \right) = \\ &= 2{x^2} - 5x - 1 - 4{x^2} + 7x + 3 = - 2{x^2} + 2x + 2\end{aligned}

(в) 

Q−P=4x2−7x−3−(2x2−5x−1)==4x2−7x−3−2x2+5x+1=2x2−2x−2\begin{aligned}&Q - P = 4{x^2} - 7x - 3 - \left( {2{x^2} - 5x - 1} \right) = \\ &= 4{x^2} - 7x - 3 - 2{x^2} + 5x + 1 = 2{x^2} - 2x - 2\end{aligned}

−P−Q=−(2x2−5x−1)−(4x2−7x−3)==−2x2+5x+1−4x2+7x+3=−6x2+12x+4\begin{aligned}&- P - Q = - \left( {2{x^2} - 5x - 1} \right) - \left( {4{x^2} - 7x - 3} \right) = \\ &= - 2{x^2} + 5x + 1 - 4{x^2} + 7x + 3 = - 6{x^2} + 12x + 4\end{aligned}

2. 

8x3+12x2−5x+9+(x+2−(x3+9))==8x3+12x2−5x+9+(x+2−x3−9)==8x3+12x2−5x+9+x+2−x3−9==7x3+12x2−4x+2\begin{aligned}&8{x^3} + 12{x^2} - 5x + 9 + \left( {x + 2 - \left( {{x^3} + 9} \right)} \right) = \\ &= 8{x^3} + 12{x^2} - 5x + 9 + \left( {x + 2 - {x^3} - 9} \right) = \\ &= 8{x^3} + 12{x^2} - 5x + 9 + x + 2 - {x^3} - 9 = \\ &= 7{x^3} + 12{x^2} - 4x + 2\end{aligned}

3. 

x+7+3−x+(x+7−(3−x))=x+7+3−x+x+7−3+x==2x+14\begin{aligned}&x + 7 + 3 - x + \left( {x + 7 - \left( {3 - x} \right)} \right) = x + 7 + 3 - x + x + 7 - 3 + x = \\ &= 2x + 14\end{aligned}

4. Решити једначине:

    (а)                                                      (б)      

−8x+(−2x+5)=25−8x−2x+5=25−10x=25−5−10x=20x=−2(5a−3)−(−10a+9)=485a−3+10a−9=4815a−12=4815a=48+1215a=60a=4\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&- 8x + \left( { - 2x + 5} \right) = 25 \\ &- 8x - 2x + 5 = 25 \\ &- 10x = 25 - 5 \\ &- 10x = 20 \\ &x = - 2\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&\left( {5a - 3} \right) - \left( { - 10a + 9} \right) = 48 \\ &5a - 3 + 10a - 9 = 48 \\ &15a - 12 = 48 \\ &15a = 48 + 12 \\ &15a = 60 \\ &a = 4\end{aligned} \end{array}

5. Решити полиномне једначине:

(а)

4m2+3m−7+P=10−8m+3m2P=10−8m+3m2−(4m2+3m−7)P=10−8m+3m2−4m2−3m+7P=−m2−11m+17\begin{aligned}&4{m^2} + 3m - 7 + P = 10 - 8m + 3{m^2} \\ &P = 10 - 8m + 3{m^2} - \left( {4{m^2} + 3m - 7} \right) \\ &P = 10 - 8m + 3{m^2} - 4{m^2} - 3m + 7 \\ &P = - {m^2} - 11m + 17\end{aligned}

(б) 

5b2+2b+7−P=7+3b+6b2P=5b2+2b+7−(7+3b+6b2)P=5b2+2b+7−7−3b−6b2P=−b2−b\begin{aligned}&5{b^2} + 2b + 7 - P = 7 + 3b + 6{b^2} \\ &P = 5{b^2} + 2b + 7 - \left( {7 + 3b + 6{b^2}} \right) \\ &P = 5{b^2} + 2b + 7 - 7 - 3b - 6{b^2} \\ &P = - {b^2} - b\end{aligned}

Збир и разлику полинома рачунате у два корака: прво се ослободите заграда, па групишете сличне чланове. Кад испред заграде стоји плус, чланови у њој задржавају знак, а кад стоји минус, сваком члану мењате знак. Редослед је важан: Q−PQ - P је супротан полином од P−QP - Q, а −P−Q-P - Q је супротан од P+QP + Q.

Кад тражите непознати полином, на пример из A+P=BA + P = B, добијате га одузимањем: P=B−AP = B - A. Исто се ради са једначинама са заградама: (4a+1)−(a−8)=30(4a + 1) - (a - 8) = 30 сређивањем постаје 3a+9=303a + 9 = 30, па је a=7a = 7. Резултат проверите тако што га уврстите у почетни израз.

10020030040050050010001500200025003000минутидин.AB
400
Тарифа A
2500 дин.
Тарифа B
2300 дин.
Разлика A − B = 2x − 600
200 дин.
Разлика A−B=2x−600A - B = 2x - 600 је негативна док је тарифа AA јефтинија, једнака нули за 300 минута, а после тога позитивна: тада је јефтинија тарифа BB.

Поређење понуда се своди на разлику полинома: цена тарифе, кредита или превоза често је фиксни износ плус део који зависи од количине, а разлика два таква израза показује која је понуда повољнија и од које количине.

Две тарифе за телефон

Тарифа AA кошта 900 динара месечно и 4 динара по минуту, а тарифа BB 1500 динара месечно и 2 динара по минуту. Напишите разлику цена A−BA - B као полином по броју минута xx. За колико минута тарифе коштају исто и која је јефтинија за 400 минута?

Решење

  1. Цена тарифе AA је 900+4x900 + 4x, а тарифе BB је 1500+2x1500 + 2x динара.
  2. Разлика: (900+4x)−(1500+2x)=900+4x−1500−2x=2x−600(900 + 4x) - (1500 + 2x) = 900 + 4x - 1500 - 2x = 2x - 600.
  3. Обрнута разлика B−AB - A је супротан полином: 600−2x600 - 2x.
  4. Тарифе коштају исто кад је разлика нула: 2x−600=02x - 600 = 0, односно x=300x = 300.
  5. За x=400x = 400 је A−B=2⋅400−600=200A - B = 2 \cdot 400 - 600 = 200, па је тарифа BB јефтинија за 200 динара.

Одговор: Разлика је A−B=2x−600A - B = 2x - 600 динара: тарифе коштају исто за 300 минута, а за 400 минута тарифа BB је јефтинија за 200 динара.

Задатак за вежбу

Одредите полином PP ако је (3x2−2x+5)+P=x2+4x−1(3x^2 - 2x + 5) + P = x^2 + 4x - 1.

Прикажи решење

P=x2+4x−1−(3x2−2x+5)=x2+4x−1−3x2+2x−5=−2x2+6x−6P = x^2 + 4x - 1 - (3x^2 - 2x + 5) = x^2 + 4x - 1 - 3x^2 + 2x - 5 = -2x^2 + 6x - 6. Провера за x=1x = 1: лева страна је 6+(−2)=46 + (-2) = 4, а десна 1+4−1=41 + 4 - 1 = 4.