Површина и запремина призме

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Израчунати површину и запремину коцке чија је ивица 7cm.

Пр.2)   Израчунати површину и запремину правилне четворостране

           призме чија је површина основе 36$c{m^2}$, а дијагонала

           бочне стране је 10cm.

Пр.3)   Дијагонала правилне четворостране призме је 15cm, а дијагонала

           основе је 12cm. Израчунати површину и запремину те призме.

Пр.4)   Израчунати површину и запремину правилен тростране призме

           чија је висина 12cm, а површина круга уписаног у основу $6\pi c{m^2}$.

Пр.5)   Дужа просторна дијагонала правилне шестостране призме је 20cm

            и нагнута је према равни основе под углом од ${60^ \circ }$.

            Израчунати површину и запремину те призме.

Пр.1)   

$$\begin{aligned}&\underline {a = 7cm} \\ &P,V = ? \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&P = 6{a^2} \\ &P = 6 \cdot {7^2} \\ &P = 6 \cdot 49 \\ &P = 294c{m^2}\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&V = {a^3} \\ &V = {7^3} \\ &V = 343c{m^3}\end{aligned} \end{array}\end{aligned}$$

Пр.2)  

$$\begin{aligned}&B = 36c{m^2} \\ &\underline {d = 10cm} \\ &P,V = ? \\ & \\ &B = {a^2} \\ &36 = {a^2} \\ &a = 6cm \\ & \\ &{d^2} = {H^2} + {a^2} \\ &{10^2} = {H^2} + {6^2} \\ &100 = {H^2} + 36 \\ &{H^2} = 64 \\ &H = 8cm \\ & \\ &V = B \cdot H \\ &V = 36 \cdot 8 \\ &V = 288c{m^3} \\ & \\ &M = 4aH \\ &M = 4 \cdot 6 \cdot 8 \\ &M = 192c{m^2} \\ & \\ &P = 2B + M \\ &P = 2 \cdot 36 + 192 \\ &P = 264c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.3)  

$$\begin{aligned}&D = 15cm \\ &\underline {d = 12cm} \\ &P,V = ? \\ & \\ &{D^2} = {d^2} + {H^2} \\ &{15^2} = {12^2} + {H^2} \\ &225 = 144 + {H^2} \\ &{H^2} = 225 - 144 \\ &{H^2} = 81 \\ &H = 9cm \\ & \\ &d = a\sqrt 2 \\ &12 = a\sqrt 2 \\ &a = \frac{{12}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{12\sqrt 2 }}{2} = 6\sqrt 2 cm \\ &B = {a^2} \\ &B = {\left( {6\sqrt 2 } \right)^2} \\ &B = 72c{m^2} \\ & \\ &M = 4aH \\ &M = 4 \cdot 6\sqrt 2 \cdot 9 \\ &M = 216\sqrt 2 c{m^2} \\ & \\ &P = 2B + M \\ &P = 2 \cdot 72 + 216\sqrt 2 \\ &P = 264c{m^2} \\ & \\ &V = B \cdot H \\ &V = 72 \cdot 9 \\ &V = 648c{m^3}\end{aligned}$$

Пр.4)   

$$\begin{aligned}&{P_{uk}} = 16\pi c{m^2} \\ &\underline {H = 12cm} \\ &P,V = ? \\ & \\ &{P_{uk}} = {r_u}^2\pi \\ &16\pi = {r_u}^2\pi \\ &{r_u}^2 = 16 \\ &{r_u} = 4cm \\ & \\ &{r_u} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \\ &4 = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \\ &a\sqrt 3 = 24 \\ &a = 8\sqrt 3 cm \\ & \\ &B = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = \frac{{{{\left( {8\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 48\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &M = 3aH \\ &M = 3 \cdot 8\sqrt 3 \cdot 12 \\ &M = 288\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &P = 2B + M \\ &P = 2 \cdot 48\sqrt 3 + 288\sqrt 3 \\ &P = 384\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &V = B \cdot H \\ &V = 48\sqrt 3 \cdot 12 \\ &V = 576\sqrt 3 c{m^3}\end{aligned}$$

Пр.5)   

$$\begin{aligned}&D = 20cm \\ &\underline {\alpha = {{60}^ \circ }} \\ &P,V = ? \\ & \\ &D = 2{d_v} = 2 \cdot 2a \\ &20 = 4a \\ &a = 5cm \\ &H = \frac{{D\sqrt 3 }}{2} \\ &H = \frac{{20\sqrt 3 }}{2} \\ &H = 10\sqrt 3 cm \\ & \\ &B = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 6 \cdot \frac{{{5^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 6 \cdot \frac{{25\sqrt 3 }}{4} \\ &B = \frac{{75\sqrt 3 }}{2}c{m^2} \\ & \\ &M = 6aH \\ &M = 6 \cdot 5 \cdot 10\sqrt 3 \\ &M = 300\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &P = 2B + M \\ &P = 2 \cdot \frac{{75\sqrt 3 }}{2} + 300\sqrt 3 \\ &P = 75\sqrt 3 + 300\sqrt 3 \\ &P = 375\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &V = B \cdot H \\ &V = \frac{{75\sqrt 3 }}{2} \cdot 10\sqrt 3 \\ &V = 375 \cdot 3 \\ &V = 1125c{m^3}\end{aligned}$$