Запремина шестостране призме

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Израчунати запремину правилне шестостране призме чија

            је основна ивица 3cm, a висина призме 8cm.

Пр.2)   Ако је површина омотача правилне једнакоивичне шестотране

           призме 96$c{m^2}$, израчунати запремину те призме.

Пр.3)   Израчунати површину правилне шестотране призме чија је

            висина 0,2dm, а запремина $192\sqrt 3 c{m^3}$.

Пр.4)   Полупречник уписане кружнице у основу правилне шестостране

            призме је 3cm. Израчунати запремину те призме ако је површина

            призме $96\sqrt 3 c{m^2}$.

Пр.5)   Израчунати запремину правилне шестостране призме, чија је

            висина 6cm, а дијагонала бочне стране заклапа са равни основе

            угао од ${60^ \circ }$.

Пр.1)   

$$\begin{aligned}&a = 3cm \\ &\underline {H = 8cm} \\ &V = ? \\ & \\ &V = BH \\ &B = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 6 \cdot \frac{{{3^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 3 \cdot \frac{{9\sqrt 3 }}{2} \\ &B = \frac{{27\sqrt 3 }}{2}c{m^2} \\ & \\ &V = \frac{{27\sqrt 3 }}{2} \cdot 8 \\ &V = 27\sqrt 3 \cdot 4 \\ &V = 108\sqrt 3 c{m^3}\end{aligned}$$

Пр.2)   

$$\begin{aligned}&H = a \\ &\underline {M = 96c{m^2}} \\ &V = ? \\ & \\ &V = BH \\ &B = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &M = 6aH \\ &M = 6aa \\ &M = 6{a^2} \\ &{a^2} = \frac{{96}}{6} \\ &{a^2} = 16 \\ &a = 4cm \\ &H = 4cm \\ & \\ &B = 6 \cdot \frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 6 \cdot \frac{{16\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 6 \cdot 4\sqrt 3 \\ &B = 24\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &V = 24\sqrt 3 \cdot 4 \\ &V = 96\sqrt 3 c{m^3}\end{aligned}$$

Пр.3)   

$$\begin{aligned}&H = 0,2dm = 2cm \\ &\underline {V = 192\sqrt 3 c{m^3}} \\ &P = ? \\ & \\ &P = 2B + M \\ &B = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &M = 6aH \\ &V = BH \\ &192\sqrt 3 = B \cdot 2 \\ &B = \frac{{192\sqrt 3 }}{2} \\ &B = 96\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &96\sqrt 3 = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{96\sqrt 3 }}{6} \\ &\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = 16\sqrt 3 \\ &{a^2}\sqrt 3 = 16\sqrt 3 \cdot 4 \\ &{a^2} = 64 \\ &a = 8cm \\ & \\ &M = 6aH \\ &M = 6 \cdot 8 \cdot 2 \\ &M = 96c{m^2} \\ & \\ &P = 2B + M \\ &P = 2 \cdot 96\sqrt 3 + 96 \\ &P = 192\sqrt 3 + 96c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.4)   

$$\begin{aligned}&{r_u} = 3cm \\ &\underline {P = 96\sqrt 3 c{m^2}} \\ &V = ? \\ & \\ &{r_u} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ &3 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ &a\sqrt 3 = 3 \cdot 2 \\ &a = \frac{6}{{\sqrt 3 }} = \frac{6}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{6\sqrt 3 }}{3} = 2\sqrt 3 cm \\ & \\ &B = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 6 \cdot \frac{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 6 \cdot \frac{{4 \cdot 3\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 18\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &P = 2B + M \\ &96\sqrt 3 = 2 \cdot 18\sqrt 3 + M \\ &M = 96\sqrt 3 - 36\sqrt 3 \\ &M = 60\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &M = 6aH \\ &60\sqrt 3 = 6 \cdot 2\sqrt 3 \cdot H \\ &H = \frac{{60\sqrt 3 }}{{12\sqrt 3 }} \\ &H = 5cm \\ & \\ &V = BH \\ &V = 18\sqrt 3 \cdot 5 \\ &V = 90\sqrt 3 c{m^3}\end{aligned}$$

Пр.5)   

$$\begin{aligned}&\alpha = {60^ \circ } \\ &\underline {H = 6cm} \\ &V = ? \\ & \\ &H = \frac{{d\sqrt 3 }}{2} \\ &6 = \frac{{d\sqrt 3 }}{2} \\ &d\sqrt 3 = 6 \cdot 2 \\ &d = \frac{{12}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{12}}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{12\sqrt 3 }}{3} = 4\sqrt 3 cm \\ & \\ &d = 2a \\ &4\sqrt 3 = 2a \\ &a = 2\sqrt 3 cm \\ & \\ &B = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 6 \cdot \frac{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 6 \cdot \frac{{4 \cdot 3\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 18\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &V = BH \\ &V = 18\sqrt 3 \cdot 6 \\ &V = 108\sqrt 3 c{m^3}\end{aligned}$$