Површина четворостране призме

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Израчунати површину правилане четвораостране призме

           чија је основна ивица 10cm, а висина призме 15cm.

Пр.2)   Ако је површина основе правилне четворостране призме

           256$c{m^2}$, а висина 11cm, израчунати површину те призме.

Пр.3)   Ако је површина правилне четворостране призме 190$c{m^2}$,

           а основна ивица 5cm, израчунати висину те призме.

Пр.4)   Ако дијагонала павилне четворостране призме на равни основе

           гради угао од ${60^ \circ }$, а дијагонала основе је $6\sqrt 2 cm$,

           израчунати површину те призме.

Пр.5)   Основа праве пизме је ромб чије су дијагонале 12cm  и 16cm.

            Ако су висина призме и основна ивица у размери 3:2, изачунати

            поршину призме.

Пр.6)   Основа праве призме је једнакокраки троугао чије су основене

            ивице 27cm и 11cm, а крак трапеза је 17cm. Израчунати поврпину

            те призме ако је висина призме за 5cm дужа од висине основе.

Пр.1)  

$$\begin{aligned}&a = 10cm \\ &\underline {H = 15cm} \\ &P = ? \\ &P = 2B + M \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&B = {a^2} \\ &B = {10^2} \\ &B = 100c{m^2}\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&M = 4aH \\ &M = 4 \cdot 10 \cdot 15 \\ &M = 600c{m^2}\end{aligned} \end{array} \\ &P = 2 \cdot 100 + 600 \\ &P = 800c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.2)   

$$\begin{aligned}&B = 256c{m^2} \\ &\underline {H = 11cm} \\ &P = ? \\ &P = 2B + M \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&B = {a^2} \\ &256 = {a^2} \\ &a = 16cm\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&M = 4aH \\ &M = 4 \cdot 16 \cdot 11 \\ &M = 704c{m^2}\end{aligned} \end{array} \\ &P = 2 \cdot 256 + 704 \\ &P = 1216c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.3)  

$$\begin{aligned}&P = 190c{m^2} \\ &\underline {a = 5cm} \\ &H = ? \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&B = {a^2} \\ &B = {5^2} \\ &B = 25c{m^2}\end{aligned} &\begin{aligned}&P = 2B + M \\ &190 = 2 \cdot 25 + M \\ &M = 190 - 50 \\ &M = 140c{m^2}\end{aligned} &\begin{aligned}&M = 4aH \\ &140 = 4 \cdot 5 \cdot H \\ &140 = 20H \\ &H = \frac{{140}}{{20}} \\ &H = 7cm\end{aligned} \end{array}\end{aligned}$$

Пр.4)   

$$\begin{aligned}&d = 6\sqrt 2 cm \\ &\underline {\alpha = {{60}^ \circ }} \\ &P = ? \\ & \\ &d = a\sqrt 2 \\ &6\sqrt 2 = a\sqrt 2 \\ &a = 6cm \\ &H = \frac{{D\sqrt 3 }}{2}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&D = 2d = 2 \cdot 6\sqrt 2 = 12\sqrt 2 cm \\ &H = \frac{{12\sqrt 2 \cdot \sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 6 cm \\ & \\ &P = 2B + M \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&B = {a^2} \\ &B = {6^2} \\ &B = 36c{m^2}\end{aligned} &\begin{aligned}\end{aligned} &\begin{aligned}&M = 4aH \\ &M = 4 \cdot 6 \cdot 6\sqrt 6 \\ &M = 144\sqrt 6 c{m^2}\end{aligned} \end{array} \\ & \\ &P = 2 \cdot 36 + 144\sqrt 6 \\ &P = \left( {72 + 144\sqrt 6 } \right)c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.5)   

$$\begin{aligned}&{d_1} = 12cm \\ &{d_2} = 16cm \\ &\underline {H:a = 3:2} \\ &P = ? \\ & \\ &{a^2} = {\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \\ &{a^2} = {\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{16}}{2}} \right)^2} \\ &{a^2} = 36 + 64 \\ &{a^2} = 100 \\ &a = 10cm \\ &H:a = 3:2 \\ &H:10 = 3:2 \\ &H = \frac{{3 \cdot 10}}{2} \\ &H = 15cm \\ & \\ &P = 2B + M \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&B = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2} \\ &B = \frac{{12 \cdot 16}}{2} \\ &B = 96c{m^2}\end{aligned} &\begin{aligned}\end{aligned} &\begin{aligned}&M = 4aH \\ &M = 4 \cdot 10 \cdot 15 \\ &M = 600c{m^2}\end{aligned} \end{array} \\ & \\ &P = 2 \cdot 96 + 600 \\ &P = 192 + 600 \\ &P = 792c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.6)   

$$\begin{aligned}&a = 27cm \\ &b = 11cm \\ &c = 17cm \\ &\underline {H = h + 5} \\ &P = ? \\ & \\ &B = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&\frac{{a - b}}{2} = \frac{{27 - 11}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8 \\ &{c^2} = {h^2} + {\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2} \\ &{17^2} = {h^2} + {8^2} \\ &289 = {h^2} + 64 \\ &{h^2} = 225 \\ &h = 15cm \\ &H = 15 + 5 = 20cm \\ & \\ &P = 2B + M \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&B = \frac{{a + b}}{2} \cdot h \\ &B = \frac{{27 + 11}}{2} \cdot 15 \\ &B = 285c{m^2}\end{aligned} &\begin{aligned}\end{aligned} &\begin{aligned}&M = aH + bH + 2cH \\ &M = 27 \cdot 20 + 11 \cdot 20 + 2 \cdot 17 \cdot 20 \\ &M = 1440c{m^2}\end{aligned} \end{array} \\ & \\ &P = 2 \cdot 285 + 1440 \\ &P = 2010c{m^2}\end{aligned}$$