Решавање линеарних неједначина са једном непознатом 2

Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Одредити све природне бројеве који су решења неједначина:

а) $x + 9 \geqslant 4x - 3$

б) $\frac{1}{2}x - 1 < 0,1x + \frac{1}{2}$

в)

\frac{2}{3}x - 1 \leqslant 0,2x + 2

Пр.2) Решити неједначине:

а)

x + 3 \leqslant 4 + 2x

б)

6Медијаx - 2 < 12x + 19

в)

x - 2,5 > 2 - \frac{x}{2}

Пр.3) Решити неједначину

6 - x < 8 - 2x < 4x + 6

, а затим скуп

решења приказати на бројевној правој у облику интервала.

Пр.4) Одредити најмањеу целобројну вредност проемљиве

x

за коју

израз

5x - 10

има већу вредност од израза

3x + 15

.

Пр.1)

а)

$\begin{aligned}&x + 94x - 3 \\ &x - 4x \geqslant - 3 - 9 \\ &- 3x \geqslant - 12 \\ &x \leqslant 4 \\ &A = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\end{aligned}$

б)

$\begin{aligned}&\frac{1}{2}x - 1 < 0,1x + \frac{1}{2} \\ &\frac{1}{2}x - 0,1x < \frac{1}{2} + 1 \\ &\frac{1}{2}x - \frac{1}{{10}}x < \frac{1}{2} + 1| \cdot 10 \\ &5x - x < 5 + 10 \\ &4x < 15 \\ &x < \frac{{15}}{4} \\ &x < 3\frac{3}{4} \\ &B = \left\{ {1;2;3} \right\}\end{aligned}$

в)

$\begin{aligned}&\frac{2}{3}x - 10,2x + 2 \\ &\frac{2}{3}x - 1\frac{1}{5}x + 2| \cdot 15 \\ &10x - 15 \leqslant 3x + 30 \\ &10x - 3x \leqslant 15 + 30 \\ &7x \leqslant 45 \\ &x \leqslant \frac{{45}}{7} \\ &x \leqslant 6\frac{3}{7} \\ &V = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\end{aligned}$

Пр.2)

а)

$\begin{aligned}&x + 34 + 2x \\ &x - 2x \leqslant 4 - 3 \\ &- x \leqslant 1 \\ &x \geqslant - 1\end{aligned}$

б)

$\begin{aligned}&6x - 2 < 12x + 19 \\ &6x - 12x < 2 + 19 \\ &- 6x < 21 \\ &x > - \frac{{21}}{6} \\ &x > - \frac{7}{2}\end{aligned}$

в)

$\begin{aligned}&x - 2,5 > 2 - \frac{x}{2} \\ &x + \frac{x}{2} > 4,5| \cdot 2 \\ &2x + x > 9 \\ &3x > 9 \\ &x > 3\end{aligned}$

Пр.3)

$\begin{aligned}&6{\text{ }} - {\text{ }}x{\text{ }} < {\text{ }}8{\text{ }} - {\text{ }}2x{\text{ }} < {\text{ }}4x{\text{ }} + {\text{ }}6 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&6{\text{ }} - {\text{ }}x{\text{ }} < {\text{ }}8{\text{ }} - {\text{ }}2x \\ &2x - x < 8 - 6 \\ &x < 2\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&8{\text{ }} - {\text{ }}2x{\text{ }} < {\text{ }}4x{\text{ }} + {\text{ }}6 \\ &- 2x - 4x < 6 - 8 \\ &- 6x < - 2 \\ &x > \frac{2}{6} \\ &x > \frac{1}{3}\end{aligned} \end{array}\end{aligned}$

646 png

Пр.4)

$\begin{aligned}&5x - 10 > 3x + 15 \\ &5x - 3x > 15 + 10 \\ &2x > 25 \\ &x > 12\frac{1}{2} \\ &x = 13\end{aligned}$

Кад се непозната јавља на обе стране, чланове са $x$ пребаците на једну страну, а бројеве на другу, мењајући им знак: $x + 5 \ge 3x - 1$ постаје $-2x \ge -6$ , па $x \le 3$ . Ако се траже природни бројеви који су решења, изаберите их из интервала: овде 1, 2 и 3.

Двострука неједначина, на пример $2 - x < 4 - 2x < x + 7$ , раставља се на две, $2 - x < 4 - 2x$ и $4 - 2x < x + 7$ , а решење је њихов пресек: $-1 < x < 2$ . Услов „израз $A$ има већу вредност од израза $B$ “ пишете као $A > B$ . Децимале, као $0{,}1x$ , претворите у разломке или помножите обе стране са 10.

Број долазака x4

Теретана А: 2800 дин.
Теретана Б: 2000 дин.
Б − А: −800 дин.

Лево од пресека права цена теретане Б је нижа, а десно од њега нижа је цена теретане А. Пресек је у

x = 6\frac{2}{3}

, па А постаје јефтинија од седмог доласка.

Кад поредите две тарифе, две теретане или два превоза, неједначина са непознатом на обе стране показује од ког броја минута, долазака или километара је једна понуда јефтинија.

Која теретана је јефтинија

Теретана А у Новом Саду наплаћује месечну чланарину 2000 динара и још 200 динара по доласку. Теретана Б нема чланарину, али наплаћује 500 динара по доласку. Од колико долазака месечно је теретана А јефтинија?

Решење

За $x$ долазака А кошта $2000 + 200x$ , а Б $500x$ динара. Тражимо кад је $2000 + 200x < 500x$ .
Чланове са $x$ пребацимо лево, а број десно: $200x - 500x < -2000$ , тј. $-300x < -2000$ .
Делимо са $-300$ и окрећемо знак: $x > \frac{2000}{300} = 6\frac{2}{3}$ .
Број долазака је природан број, па је најмањи 7. Провера: тада А кошта 3400, а Б 3500 динара.

Одговор: Теретана А је јефтинија ако долазите 7 или више пута месечно.

Задатак за вежбу

Одредите најмањи цео број $x$ за који израз $3x - 4$ има већу вредност од израза $x + 7$ .

Прикажи решење

$3x - 4 > x + 7$ , $2x > 11$ , $x > 5{,}5$ . Најмањи цео број је 6 (провера: $14 > 13$ ).