Сличност троуглова, тачка, права, раван – понављање градива

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Дат је квадар $ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$. Одредити међусобне положаје:

           а) $p\left( {A,D} \right)$ и $p\left( {{C_1},{B_1}} \right)$

           б) $p\left( {A,B} \right)$ и $p\left( {{C_1},C} \right)$

           в) $p\left( {C,{C_1}} \right)$ и $r\left( {A,C,D} \right)$

           г) $r\left( {{A_1},D,{D_1}} \right)$ и $r\left( {B,C,{B_1}} \right)$

           д) $p\left( {C,A} \right)$ и $r\left( {{A_1},{C_1},{D_1}} \right)$

           ђ) $r\left( {C,D,{D_1}} \right)$ и $r\left( {B,A,{B_1}} \right)$

           е) $p\left( {C,A} \right)$ и $r\left( {A,{C_1},D} \right)$

Пр.2)   Колико је равни одређено са шест правих које садрже исту тачку, а нијоје три не леже у истој равни? Нацртати слику и написати које су то три равни.

Пр.3)   На страни диедра чији је угао ${45^ \circ }$ дата је тачка $B$, која је од ивице диедра удаљена 8cm. Колико је тачка $B$ удаљена од друге стране диедра?

Пр.4)   Дужина дужи $AB$ је 26cm. Ако је растојање тачке $A$ од равни $\alpha$ 31cm, a растојање тачке $B$ од равни $\alpha$ је 7cm, одредити дужину ортогоналне пројекције дужи $AB$ на раван $\alpha$, ако се тачке $A$ и $B$ налазе са исте стране равни $\alpha$.

Пр.5)   Нека су катете једног троугла 5cm,12cm, а хипотенуза другог троугла 17 и једна катета 15cm, проверити да ли су та два троугла слична.

Пр.6)   Нека су праве $SL$ и $HU$ паралелне као на слици. Израчунати дужину $PS$, ако је: $LU = 12cm$, $SH = 15cm$ и $PU = 2dm$.

Пр.1)   Дат је квадар $ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$

Пр.2)  Потребно је израчунати колико равни је одређено са шест правих које садрже исту тачку. Знамо да три праве не леже у истој равни можемо користити формулу $$\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = \frac{{6\left( {6 - 1} \right)}}{2} = \frac{{6 \cdot 5}}{2} = 15 раван$$

Пр.3) Направимо слику.

На слици видимо да смо добили правоугли, jеднакокраки троугао, допунимо оваj троугао до квадрата са диjагоналом $d = 8cm$ и израчунамо страницу квадрата:$$\begin{aligned}&d = x\sqrt 2 \\ &8 = x\sqrt 2 \\ &x = \frac{8}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} \\ &x = 4\sqrt 2 cm\end{aligned}$$

Пр.4)  Направимо слику.

Из тачке $B$ паралелно равни $\alpha$ повлачимо нову дуж. Добили смо правоугаоник са страницама $7cm$ и $x$ и правоугли троугао, његове катете су  $x$ и $31 - 7 = 24cm$, а хипотинуза $AB$ је 26cm.

Израчунаћемо $x$.

$$\begin{aligned}&{x^2} = {26^2} - {24^2} \\ &{x^2} = 676 - 576 \\ &{x^2} = 100 \\ &x = 10cm\end{aligned}$$

Пр.5) Нека су катете једног троугла $a=5cm$, $b=12cm$, израчунаћемо његову хипотенузу:

$$\begin{aligned}&{c^2} = {a^2} + {b^2} \\ &{c^2} = {5^2} + {12^2} \\ &{c^2} = 25 + 144 \\ &{c^2} = 169 \\ &c = 13cm\end{aligned}$$

Нека су хипотенуза другог троугла $с_1=17cm$ и једна катета $b_1=15cm$, израчунаћемо његову другу катету $a_1$:

$$\begin{aligned}&{a^2}_1 = {c^2}_1 - {b^2}_1 \\ &{a^2}_1 = {17^2} - {15^2} \\ &{a^2}_1 = 289 - 125 \\ &{a^2}_1 = 64 \\ &{a_1} = \sqrt {64} \\ &{a_1} = 8cm\end{aligned}$$

Проверићимо да ли су одговараjуће странице пропорционалне.

$$\begin{aligned}&\frac{a}{{{a_1}}} = \frac{b}{{{b_1}}} = \frac{c}{{{c_1}}} \\ &\frac{5}{8} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{{13}}{{17}}\end{aligned}$$

Проверићемо прву пропорцију

$$\begin{aligned}&5:8 = 12:15 \\ &5 \cdot 15 = 8 \cdot 12 \\ &75 \ne 96\end{aligned}$$

Троуглови нису слични.

Пр.6) 

$$\begin{aligned}&PS:PL = SH:LU \\ &PS:8 = 15:12 \\ &12 \cdot PS = 8 \cdot 15 \\ &PS = \frac{{8 \cdot 15}}{{12}} \\ &PS = 10cm\end{aligned}$$