Површина призме – понављање градива

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Основна ивица праве правилне призме је 6cm, а висина призме

           је 5cm. Израчунати површину те призме ако је призма:

           а) четворострана   б) тространа   в) шестострана

Пр.2)   Ако је дијагонала коцке $10\sqrt 3 cm$, израчунати површину

           те коцке.

Пр.3)   Ако је дијагонала бочне стране правилне тостране призме 8cm 

           и ако она заклапа са равни основе угао ${45^ \circ }$, израчунати

           површину те пизме.

Пр.4)   Ако је краћа дијагонала основе правилне шестостране призме

           12cm, а дијагонала бочне стране 7cm, израчунати површину

            те призме.

Пр.1)   a)

$$\begin{aligned}&a = 6cm \\ &\underline {H = 5cm} \\ &P = ? \\ & \\ &P = 2B + M \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&B = {a^2} \\ &B = {6^2} \\ &B = 36c{m^2}\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&M = 4aH \\ &M = 4 \cdot 6 \cdot 5 \\ &M = 120c{m^2}\end{aligned} \end{array} \\ & \\ &P = 2 \cdot 36 + 120 \\ &P = 72 + 120 \\ &P = 192c{m^2}\end{aligned}$$

б)

$$\begin{aligned}&a = 6cm \\ &\underline {H = 5cm} \\ &P = ? \\ & \\ &P = 2B + M \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&B = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = \frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 9\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&M = 3aH \\ &M = 3 \cdot 6 \cdot 5 \\ &M = 90c{m^2}\end{aligned} \end{array} \\ & \\ &P = 2 \cdot 9\sqrt 3 + 90 \\ &P = 18\sqrt 3 + 90c{m^2}\end{aligned}$$

в)

$$\begin{aligned}&a = 6cm \\ &\underline {H = 5cm} \\ &P = ? \\ & \\ &P = 2B + M \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&B = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 6 \cdot \frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 54\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&M = 6aH \\ &M = 6 \cdot 6 \cdot 5 \\ &M = 180c{m^2}\end{aligned} \end{array} \\ & \\ &P = 2 \cdot 54\sqrt 3 + 180 \\ &P = 108\sqrt 3 + 180c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.2)   

$$\begin{aligned}&\underline {D = 10\sqrt 3 cm} \\ &P = ? \\ & \\ &D = a\sqrt 3 \\ &10\sqrt 3 = a\sqrt 3 \\ &a = 10cm \\ & \\ &P = 6{a^2} \\ &P = 6 \cdot {10^2} \\ &P = 6 \cdot 100 \\ &P = 600c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.3)   

$$\begin{aligned}&d = 8cm \\ &\underline {\alpha = {{45}^ \circ }} \\ &P = ?\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&a = H \\ &d = a\sqrt 2 \\ &8 = a\sqrt 2 \\ &a = \frac{8}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 4\sqrt 2 cm \\ &H = 4\sqrt 2 cm \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&B = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = \frac{{{{\left( {4\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = \frac{{16 \cdot 2\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 8\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&M = 3aH \\ &M = 6 \cdot 4\sqrt 2 \cdot 4\sqrt 2 \\ &M = 96c{m^2}\end{aligned} \end{array} \\ & \\ &P = 2B + M \\ &P = 2 \cdot 8\sqrt 3 + 96 \\ &P = 16\sqrt 3 + 96c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.4)  

$$\begin{aligned}&{d_m} = 12cm \\ &\underline {d = 7cm} \\ &P = ? \\ & \\ &{d_m} = a\sqrt 3 \\ &12 = a\sqrt 3 \\ &a = \frac{{12}}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 4\sqrt 3 cm \\ & \\ &{d^2} = {a^2} + {H^2} \\ &{7^2} = {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} + {H^2} \\ &49 = 48 + {H^2} \\ &{H^2} = 1 \\ &H = 1cm \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&B = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 6 \cdot \frac{{{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 6 \cdot \frac{{16 \cdot 3\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 72\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&M = 6aH \\ &M = 6 \cdot 4\sqrt 3 \cdot 1 \\ &M = 24\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned} \end{array} \\ & \\ &P = 2B + M \\ &P = 2 \cdot 72\sqrt 3 + 24\sqrt 3 \\ &P = 168\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned}$$