Неједнакост, неједначине, решење линеарне неједначине

Дефиниције, примери.

Неједнакост пореди два израза знаком $<$ , $>$ , $\le$ или $\ge$ , на пример $3 < 7$ . Неједначина је неједнакост у којој се јавља непозната, као $2x - 1 > 3$ . Решење неједначине је сваки број који, убачен уместо непознате, даје тачну неједнакост: 5 јесте решење јер је $9 > 3$ , а 1 није јер $1 > 3$ није тачно.

Неједначина обично има бесконачно много решења, па се скуп решења приказује на бројевној правој или интервалом: овде $x > 2$ , тј. $x \in (2; +\infty)$ . Линеарну неједначину решавате као једначину, уз једно правило: кад множите или делите негативним бројем, знак неједнакости се окреће.

Број x−1

Лева страна 2x − 1: −3
Десна страна: 3

Број

x

је решење кад је

2x - 1

веће од 3, а то важи тачно десно од 2. Сам број 2 даје

3 > 3

, што није тачно, па је кружић празан.

Неједначине описују ограничења: највећу дозвољену носивост лифта, ограничење брзине, износ који сме да се потроши или најмањи број бодова за упис.

Пакети у лифту

Лифт у згради на Новом Београду носи највише 630 kg. Достављач од 80 kg уноси пакете од по 25 kg. Колико пакета највише сме да понесе у једној вожњи?

Решење

Ако понесе $x$ пакета, укупна маса је $80 + 25x$ и не сме бити већа од 630: $80 + 25x \le 630$ .
Провера: за $x = 20$ је $80 + 500 = 580 \le 630$ , па 20 јесте решење; за $x = 23$ је $80 + 575 = 655 > 630$ , па 23 није решење.
Решавамо: $25x \le 630 - 80 = 550$ , па је $x \le 22$ .
Број пакета је природан број, па су решења 1, 2, …, 22.

Одговор: Достављач у једној вожњи сме да понесе највише 22 пакета.

Задатак за вежбу

Који од бројева $-1$ , $0$ , $2$ и $4$ су решења неједначине $3x + 2 \ge 8$ ?

Прикажи решење

Решења су 2 и 4: $3 \cdot 2 + 2 = 8 \ge 8$ и $3 \cdot 4 + 2 = 14 \ge 8$ . За $-1$ и $0$ лева страна је $-1$ и $2$ , мања од 8.