Решавање линеарних једначина са једном непознатом 2

Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Решити следеће једначине:

а) $5x - 4 = 3x - 10$

б) $4x - 1 = 8x - 10$

в) $6 - 3\left( {x + 2} \right) = 5\left( {x + 4} \right) + 10$

Пр.2) Решити следеће једначине:

а) $7x + 4 = x - 9 + 13$

б) $5x - 1 = 3x - 10 + 2x$

в) $6\left( {x + 1} \right) = 3\left( {2x + 1} \right) + 3$

Пр.1)

a)	$5x - 4 = 3x - 10$	б)	$4x - 1 = 8x - 10$	в)	$6 - 3\left( {x + 2} \right) = 5\left( {x + 4} \right) + 10$
	$5x - 3x = 4 - 10$		$4x - 8x = - 10 + 1$		$6 - 3x - 6 = 5x + 20 + 10$
	$2x = - 6$		$- 4x = - 9$		$- 3x - 5x = 20 + 10 - 6 + 6$
	$x = - 3$		$x = \frac{{ - 9}}{{ - 4}}$		$- 8x = 30$
			$x = 2\frac{1}{4}$		$x = \frac{{30}}{{ - 8}}$
					$x = - 3,75$

Пр.2)

а)	$7x + 4 = x - 9 + 13$	б)	$5x - 1 = 3x - 10 + 2x$	в)	$6\left( {x + 1} \right) = 3\left( {2x + 1} \right) + 3$
	$7x - x = - 9 + 13 - 4$		$5x - 3x - 2x = 1 - 10$		$6x + 6 = 6x + 3 + 3$
	$6x = 4 - 4$		$0x = - 9$		$6x - 6x = 3 + 3 - 6$
	$6x = 0$		нема решења		$0x = 0$
	$x = \frac{0}{6}$		$x \in \emptyset$		неодређена
	$x = 0$				$x \in \mathbb{R}$

Кад је непозната на обе стране, чланове са $x$ пребаците на једну страну, а бројеве на другу, сваки пут са промењеним знаком. Прво се множењем ослободите заграда, а минус испред заграде мења знак сваком члану у њој: $-3(x + 2) = -3x - 6$ . Затим средите обе стране и поделите коефицијентом уз $x$ .

Понекад се чланови са $x$ потпуно потру. Ако остане нетачна једнакост, као $0 \cdot x = -9$ , једначина нема решења. Ако остане тачна, као $0 \cdot x = 0$ , решење је сваки број и кажемо да је једначина неодређена. Честа грешка је да се у том случају напише $x = 0$ .

Број долазака6

Теретана Б по доласку500 дин.

Теретана А: 3800 дин.
Теретана Б: 3000 дин.
А минус Б: 800 дин.

Где се праве секу, обе теретане коштају исто. Поставите цену по доласку у теретани Б на 300 динара: праве постају паралелне и никад се не секу, као једначина

0 \cdot x = 2000

која нема решења.

Оваквим једначинама поредите две понуде са различитом основном ценом и различитом ценом по јединици: тарифе мобилних оператера, чланарине, такси или изнајмљивање аутомобила.

Две теретане

Теретана А наплаћује месечну чланарину 2000 динара и 300 динара по доласку. Теретана Б нема чланарину, али наплаћује 500 динара по доласку. За колико долазака месечно обе теретане коштају исто?

Решење

За $x$ долазака теретана А кошта $2000 + 300x$ , а теретана Б $500x$ , па је $2000 + 300x = 500x$ .
Члан $300x$ пребацимо на десну страну: $2000 = 500x - 300x = 200x$ .
Одатле је $x = 2000 : 200 = 10$ . Провера: $2000 + 300 \cdot 10 = 5000$ и $500 \cdot 10 = 5000$ .
Да теретана Б наплаћује 300 динара по доласку, добили бисмо $2000 + 300x = 300x$ , односно $0 \cdot x = 2000$ . Та једначина нема решења: теретана А би увек била скупља.

Одговор: Обе теретане коштају исто, по 5000 динара, за 10 долазака месечно.

Задатак за вежбу

Решите једначине: а) $3(x - 2) = 5x - 14$ ; б) $2(x + 3) = 2x + 5$ .

Прикажи решење

а) $3x - 6 = 5x - 14$ , $-2x = -8$ , па је $x = 4$ . б) $2x + 6 = 2x + 5$ , $0 \cdot x = -1$ , па једначина нема решења.