Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Решавање линеарних једначина са једном непознатом 4

Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Решити једначине:

           а) (4x−3)(3x+4)−(2x+1)(6x−1)=1\left( {4x - 3} \right)\left( {3x + 4} \right) - \left( {2x + 1} \right)\left( {6x - 1} \right) = 1

           б) (3−5x)2+(1+12x)2=(13x−2)2+6{\left( {3 - 5x} \right)^2} + {\left( {1 + 12x} \right)^2} = {\left( {13x - 2} \right)^2} + 6

           в) (2x−3)(2x+3)−(2x−1)2=8+6x\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right) - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 8 + 6x

Пр.2)   Решити следеће једначине:

           а) (x+3):(1−x)=−2\left( {x + 3} \right):\left( {1 - x} \right) = - 2

           б) (x+1):(x+3)=(x−3):(x−2)\left( {x + 1} \right):\left( {x + 3} \right) = \left( {x - 3} \right):\left( {x - 2} \right)

Пр.1)

а) (4x−3)(3x+4)−(2x+1)(6x−1)=1\left( {4x - 3} \right)\left( {3x + 4} \right) - \left( {2x + 1} \right)\left( {6x - 1} \right) = 1

12x2+16x−9x−12−(12x2−2x+6x−1)=112{x^2} + 16x - 9x - 12 - \left( {12{x^2} - 2x + 6x - 1} \right) = 1

12x2+7x−12−12x2+2x−6x+1=112{x^2} + 7x - 12 - 12{x^2} + 2x - 6x + 1 = 1

3x−11=13x - 11 = 1

3x=123x = 12

x=4x = 4

б) (3−5x)2+(1+12x)2=(13x−2)2+6{\left( {3 - 5x} \right)^2} + {\left( {1 + 12x} \right)^2} = {\left( {13x - 2} \right)^2} + 6

32−2⋅3⋅5x+(5x)2+1+24x+144x2=169x2−52x+4+6{3^2} - 2 \cdot 3 \cdot 5x + {\left( {5x} \right)^2} + 1 + 24x + 144{x^2} = 169{x^2} - 52x + 4 + 6

9−30x+25x2+1+24x+144x2=169x2−52x+109 - 30x + 25{x^2} + 1 + 24x + 144{x^2} = 169{x^2} - 52x + 10

10−6x+169x2=169x2−52x+1010 - 6x + 169{x^2} = 169{x^2} - 52x + 10

−6x+169x2−169x2+52x=10−10- 6x + 169{x^2} - 169{x^2} + 52x = 10 - 10

46x=046x = 0

x=046x = \frac{0}{{46}}

x=0x = 0

в) (2x−3)(2x+3)−(2x−1)2=8+6x\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right) - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 8 + 6x

(2x)2−32−(4x2−4x+1)=8+6x{\left( {2x} \right)^2} - {3^2} - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) = 8 + 6x

4x2−9−4x2+4x−1=8+6x4{x^2} - 9 - 4{x^2} + 4x - 1 = 8 + 6x

4x−10=8+6x4x - 10 = 8 + 6x

4x−6x=10+84x - 6x = 10 + 8

−2x=18- 2x = 18

x=−9x = - 9

Пр.2)

а) (x+3):(1−x)=−2\left( {x + 3} \right):\left( {1 - x} \right) = - 2

(x+3):(1−x)=−2:1\left( {x + 3} \right):\left( {1 - x} \right) = - 2:1

1⋅(x+3)=−2⋅(1−x)1 \cdot \left( {x + 3} \right) = - 2 \cdot \left( {1 - x} \right)

x+3=−2+2xx + 3 = - 2 + 2x

x−2x=−2−3x - 2x = - 2 - 3

−x=−5- x = - 5

x=5x = 5

б) (x+1):(x+3)=(x−3):(x−2)\left( {x + 1} \right):\left( {x + 3} \right) = \left( {x - 3} \right):\left( {x - 2} \right)

(x+1)(x−2)=(x+3)(x−3)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)

x2−2x+x−2=x2−32{x^2} - 2x + x - 2 = {x^2} - {3^2}

x2−x−2=x2−9{x^2} - x - 2 = {x^2} - 9

x2−x−x2=2−9{x^2} - x - {x^2} = 2 - 9

−x=−7- x = - 7

x=7x = 7

Неке једначине изгледају као квадратне, али кад средите изразе, x2x^2 се потре и остане линеарна једначина. Прво помножите полиноме и примените формуле (a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 и (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2. Ако је испред производа минус, прво помножите заграде, а тек онда промените знак сваком члану: −(2x+1)(x−3)=−(2x2−5x−3)=−2x2+5x+3-(2x + 1)(x - 3) = -(2x^2 - 5x - 3) = -2x^2 + 5x + 3. Најчешћа грешка је изостављен средњи члан: (2x−1)2=4x2−4x+1(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1, а не 4x2+14x^2 + 1.

Пропорцију a:b=c:da : b = c : d претворите у једначину a⋅d=b⋅ca \cdot d = b \cdot c, јер је производ спољашњих чланова једнак производу унутрашњих: (x+1):2=(x−3):1(x + 1) : 2 = (x - 3) : 1 постаје x+1=2(x−3)x + 1 = 2(x - 3). Затим решавате као и обично, а решење проверите уврштавањем у почетну једначину.

x = 8x − 2x + 3
8 m
Квадрат
64 m²
Правоугаоник
66 m²
Разлика
2 m²
Разлика површина правоугаоника и квадрата увек је x−6x - 6, јер се x2x^2 потре. Тражите страницу за коју је разлика тачно 6 m². Једно поље мреже је 1 m.

Оваква једначина настаје кад се мењају димензије парцеле, собе или паркинга, а позната је промена површине. Пропорција са непознатом јавља се кад две величине морају да остану у истом односу, на пример при увећању плана или рецепта.

Нови облик баште

Башта има облик квадрата. Ако би се једна њена страница продужила за 3 m, а друга скратила за 2 m, башта би постала правоугаоник чија је површина за 6 m² већа од површине квадрата. Колика је страница баште?

Решење

  1. Ако је страница xx m, површина квадрата је x2x^2, а правоугаоника (x+3)(x−2)(x + 3)(x - 2). Зато је (x+3)(x−2)=x2+6(x + 3)(x - 2) = x^2 + 6.
  2. Помножимо заграде: x2−2x+3x−6=x2+6x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + 6, односно x2+x−6=x2+6x^2 + x - 6 = x^2 + 6.
  3. Чланови x2x^2 се потру: x−6=6x - 6 = 6, па је x=12x = 12.
  4. Провера: правоугаоник има странице 15 m и 10 m, а 15⋅10=15015 \cdot 10 = 150 m², док је 122+6=144+6=15012^2 + 6 = 144 + 6 = 150 m².

Одговор: Страница баште је 12 m.

Задатак за вежбу

Решите једначину (x+2):(x+5)=(x−1):(x+1)(x + 2) : (x + 5) = (x - 1) : (x + 1).

Прикажи решење

(x+2)(x+1)=(x+5)(x−1)(x + 2)(x + 1) = (x + 5)(x - 1), x2+3x+2=x2+4x−5x^2 + 3x + 2 = x^2 + 4x - 5, −x=−7-x = -7, па је x=7x = 7. Провера: 9:12=0,759 : 12 = 0{,}75 и 6:8=0,756 : 8 = 0{,}75.