Пирамида – појам, врсте, елементи

Дефиниције, формуле, решени задаци.

Пирамида је тело чија је основа многоугао, а бочне стране су троуглови са заједничким теменом, врхом пирамиде. Бочне ивице спајају врх са теменима основе, а висина HH је растојање врха од равни основе. Пирамида је правилна ако јој је основа правилан многоугао, а подножје висине центар основе. Тада су бочне стране подударни једнакокраки троуглови, а њихова висина је апотема hh.

Пирамида са nn-тоуглом у основи има n+1n + 1 темена, 2n2n ивица и n+1n + 1 страна. Код правилне четворостране пирамиде правоугли троуглови дају h2=H2+(a2)2h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 и s2=h2+(a2)2s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2, где је ss бочна ивица. Не мешајте висину пирамиде HH и апотему hh.

Hha/2sa
230 m
146 m
Апотема h
185,9 m
Бочна ивица s
218,6 m
Висина HH, половина ивице основе и апотема hh граде правоугли троугао: h2=H2+(a2)2h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2. Зато је апотема увек дужа од висине, а бочна ивица ss дужа од апотеме.

Облик пирамиде имају кровови кула и звоника, неки шатори и чувене египатске гробнице; градитељ из висине и основе рачуна дужину рогова и бочних ивица.

Кеопсова пирамида

Кеопсова пирамида у Гизи је правилна четворострана пирамида. Ивица основе јој је око 230 m, а првобитна висина око 146 m. Колика је апотема пирамиде, а колика бочна ивица?

Решење

  1. Висина HH, половина ивице основе a2=115\frac{a}{2} = 115 m и апотема hh граде правоугли троугао у ком је hh хипотенуза.
  2. h2=1462+1152=21 316+13 225=34 541h^2 = 146^2 + 115^2 = 21\,316 + 13\,225 = 34\,541, па је h≈185,9h \approx 185{,}9 m.
  3. Бочна ивица ss је хипотенуза троугла са катетама hh и a2\frac{a}{2}: s2=34 541+13 225=47 766s^2 = 34\,541 + 13\,225 = 47\,766, па је s≈218,6s \approx 218{,}6 m.

Одговор: Апотема пирамиде је око 186 m, а бочна ивица око 219 m.

Задатак за вежбу

Колико темена, ивица и страна има шестострана пирамида? Колика је апотема правилне четворостране пирамиде чија је основна ивица 10 cm, а висина 12 cm?

Прикажи решење

Шестострана пирамида има 7 темена, 12 ивица и 7 страна. h2=122+52=169h^2 = 12^2 + 5^2 = 169, па је h=13h = 13 cm.