Решавање линеарних једначина са једном непознатом 3

Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Решити следеће једначине:

а) $\frac{x}{3} - \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

б) $x - \frac{{2x - 5}}{5} = 4$

в) $\frac{{2x}}{3} - \frac{{x - 3}}{6} - 0,5 = x$

г)

\frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{2} + \frac{{x - 4}}{3} = 12 - \frac{{x + 1}}{2}

д)

\frac{{2x + 3}}{3} - \frac{{5x - 14}}{{12}} = \frac{{x + 1}}{4} - 3

Пр.1)

а)	$\frac{x}{3} - \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$	б)	$x - \frac{{2x - 5}}{5} = 4$
	$\frac{x}{3} - \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}\left\| { \cdot 12} \right.$		$x - \frac{{2x - 5}}{5} = 4\left\| { \cdot 5} \right.$
	$12 \cdot \frac{x}{3} - 12 \cdot \frac{1}{2} = 12 \cdot \frac{x}{4} + 12 \cdot \frac{1}{2}$		$x \cdot 5 - \frac{{2x - 5}}{5} \cdot 5 = 4 \cdot 5$
	$4x - 6 = 3x + 6$		$5x - \left( {2x - 5} \right) = 20$
	$4x - 3x = 6 + 6$		$5x - 2x + 5 = 20$
	$x = 12$		$5x - 2x = 20 - 5$
			$3x = 15$
			$x = 5$

в)	$\frac{{2x}}{3} - \frac{{x - 3}}{6} - 0,5 = x$	г)	$\frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{2} + \frac{{x - 4}}{3} = 12 - \frac{{x + 1}}{2}$
	$\frac{{2x}}{3} - \frac{{x - 3}}{6} - 0,5 = x\left\| { \cdot 6} \right.$		$\frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{2} + \frac{{x - 4}}{3} = 12 - \frac{{x + 1}}{2}\left\| { \cdot 6} \right.$
	$\frac{{2x}}{3} \cdot 6 - \frac{{x - 3}}{6} \cdot 6 - 0,5 \cdot 6 = x \cdot 6$		$\frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{2} \cdot 6 + \frac{{x - 4}}{3} \cdot 6 = 12 \cdot 6 - \frac{{x + 1}}{2} \cdot 6$
	$4x - \left( {x - 3} \right) - 3 = 6x$		$3 \cdot 3 \cdot \left( {x - 1} \right) + 2 \cdot \left( {x - 4} \right) = 72 - 3 \cdot \left( {x + 1} \right)$
	$4x - x + 3 - 3 = 6x$		$9x - 9 + 2x - 8 = 72 - 3x - 3$
	$4x - x - 6x = 0$		$11x - 17 = 69 - 3x$
	$- 3x = 0$		$11x + 3x = 69 + 17$
	$x = \frac{0}{{ - 3}}$		$14x = 86$
	$x = 0$		$x = \frac{{86}}{{14}}$
			$x = 6\frac{1}{7}$

д)

$\frac{{2x + 3}}{3} - \frac{{5x - 14}}{{12}} = \frac{{x + 1}}{4} - 3$

$\frac{{2x + 3}}{3} - \frac{{5x - 14}}{{12}} = \frac{{x + 1}}{4} - 3\left| { \cdot 12} \right.$

$\frac{{2x + 3}}{3} \cdot 12 - \frac{{5x - 14}}{{12}} \cdot 12 = \frac{{x + 1}}{4} \cdot 12 - 3 \cdot 12$

$4 \cdot \left( {2x + 3} \right) - \left( {5x - 14} \right) = 3 \cdot \left( {x + 1} \right) - 36$

$8x + 12 - 5x + 14 = 3x + 3 - 36$

$3x + 26 = 3x - 33$

$0x = - 59$

$x \in \emptyset$

Кад у једначини има више разломака, помножите обе стране најмањим заједничким садржаоцем (НЗС) свих именилаца. Помножите сваки сабирак, и онај без разломка: из $\frac{x}{3} - \frac{1}{2} = 1$ после множења са 6 добија се $2x - 3 = 6$ .

Ако је бројилац збир или разлика, ставите га у заграду пре множења. Минус испред разломка мења знак сваком члану бројиоца: $-\frac{x - 4}{5} \cdot 10 = -2(x - 4) = -2x + 8$ . То је најчешћа грешка у задацима са више разломака. Даље решавате као обичну линеарну једначину. Ако се чланови са непознатом потру и остане нетачна једнакост, на пример $0 \cdot x = -5$ , једначина нема решења.

Дужина стазе84 km

Први дан: 28 km
Други дан: 21 km
Трећи дан: 35 km

Први дан је трећина, а други четвртина стазе, па за трећи дан остаје

\frac{5}{12}

стазе. Тражите дужину за коју је трећи дан тачно 45 km.

Овакве једначине решавате кад је целина подељена на делове задате разломцима: план пута по данима, подела трошкова, рецепт или распоред радног времена.

Бициклистичка тура

Бициклиста је стазу прешао за три дана. Првог дана прешао је трећину стазе, другог четвртину, а трећег преосталих 45 km. Колико је дуга цела стаза?

Решење

Ако је стаза дуга $x$ km, важи $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} + 45 = x$ .
Најмањи заједнички садржалац именилаца 3 и 4 је 12, па обе стране множимо са 12: $4x + 3x + 540 = 12x$ .
Сређивањем добијамо $7x + 540 = 12x$ , затим $540 = 5x$ , па је $x = 108$ .
Провера: $108 : 3 = 36$ km, $108 : 4 = 27$ km и $36 + 27 + 45 = 108$ km.

Одговор: Стаза је дуга 108 km.

Задатак за вежбу

Решите једначину $\frac{x + 2}{3} - \frac{x - 4}{5} = 2$ .

Прикажи решење

Множењем са 15: $5(x + 2) - 3(x - 4) = 30$ , $5x + 10 - 3x + 12 = 30$ , $2x = 8$ , па је $x = 4$ .