Решавање линеарних неједначина са једном непознатом 4

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Решити неједначине:

а) ${\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} < 12 - x$

б) ${\left( {x - 4} \right)^2} - {\left( {x + 3} \right)^2} < 3\left( {x - 9} \right)$

в) $3x\left( {3x - 4} \right) - {\left( {3x + 1} \right)^2} < - 1$

г) $4\left( {x - 2} \right) - \left( {2x - 5} \right)\left( {x - 3} \right) \leqslant 12 - 2{\left( {x - 1} \right)^2}$

Пр.2) Одредити заједнички скуп решења следећих неједначина:

а) $2x - 1 \geqslant 0$ и $x - 4 < 0$

б) $3\frac{{3x}}{2} > \frac{5}{8} - \frac{{4x - 3}}{6}$ и $2x\left( {x - 5} \right) - 27 \leqslant 2{\left( {x + 1} \right)^2}$

Пр.3) Одреди све целе бројеве који задовошавају неједначине:

$15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}$ и $2\left( {x - 4} \right) \leqslant \frac{{3x - 14}}{2}$

Пр.1) Решити неједначине:

а) 

$$\begin{aligned}&{\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} < 12 - x \\ &{x^2} - 2x + 1 - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) < 12 - x \\ &{x^2} - 2x + 1 - {x^2} - 2x - 1 < 12 - x \\ &- 4x < 12 - x \\ &- 4x + x < 12 \\ &- 3x < 12 \\ &x > - 4 \\ &x \in \left( { - 4; + \infty } \right)\end{aligned}$$

б) 

$$\begin{aligned}&{\left( {x - 4} \right)^2} - {\left( {x + 3} \right)^2} < 3\left( {x - 9} \right) \\ &{x^2} - 8x + 16 - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) < 3x - 27 \\ &{x^2} - 8x + 16 - {x^2} - 6x - 9 < 3x - 27 \\ &- 14x + 7 < 3x - 27 \\ &- 14x - 3x < - 7 - 27 \\ &- 17x < - 34 \\ &x > 2 \\ &x \in \left( {2; + \infty } \right)\end{aligned}$$

в) 

$$\begin{aligned}&3x\left( {3x - 4} \right) - {\left( {3x + 1} \right)^2} < - 1 \\ &9{x^2} - 12x - \left( {9{x^2} + 6x + 1} \right) < - 1 \\ &9{x^2} - 12x - 9{x^2} - 6x - 1 < - 1 \\ &- 18x < 0 \\ &- 18x > \frac{0}{{ - 18}} \\ &x > 0\end{aligned}$$

г) 

$$\begin{aligned}&4\left( {x - 2} \right) - \left( {2x - 5} \right)\left( {x - 3} \right) \leqslant 12 - 2{\left( {x - 1} \right)^2} \\ &4x - 8 - \left( {2{x^2} - 6x - 5x + 15} \right) \leqslant 12 - 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \\ &4x - 8 - 2{x^2} + 6x + 5x - 15 \leqslant 12 - 2{x^2} + 4x + 2 \\ &4x - 2{x^2} + 6x + 5x + 2{x^2} - 4x \leqslant 12 + 2 + 8 + 15 \\ &11x \leqslant 33 \\ &x \leqslant 3\end{aligned}$$

Пр.2) Одредити заједнички скуп решења следећих неједначина:

а) 

$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&2x - 1 \geqslant 0 \\ &2x \geqslant 1 \\ &x \geqslant \frac{1}{2}\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&x - 4 < 0 \\ &x < 4\end{aligned} \end{array}$$

$$x \in \left[ {\frac{1}{2};4} \right)$$

б) 

$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&3 - \frac{{3x}}{2} > \frac{5}{8} - \frac{{4x - 3}}{6}| \cdot 24 \\ &72 - 36x > 15 - 4\left( {4x - 3} \right) \\ &72 - 36x > 15 - 16x + 12 \\ &- 36x + 16x > 15 + 12 - 72 \\ &- 20x > - 45 \\ &x < \frac{{45}}{{20}} \\ &x < \frac{9}{4} \\ &x < 2\frac{1}{4}\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&2x\left( {x - 5} \right) - 27 \leqslant 2{\left( {x + 1} \right)^2} \\ &2{x^2} - 10 - 27 \leqslant 2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) \\ &2{x^2} - 10 - 27 \leqslant 2{x^2} + 4x + 2 \\ &- 14x \leqslant 29 \\ &x \geqslant - \frac{{29}}{{14}} \\ &x \geqslant - 2\frac{1}{{14}}\end{aligned} \end{array}$$

$$x \in \left[ { - 2\frac{1}{{14}};2\frac{1}{4}} \right)$$

Пр.3) Одреди све целе бројеве који задовошавају неједначине:

$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}| \cdot 3 \\ &45x - 6 > 6x + 1 \\ &45x - 6x > 6 + 1 \\ &39x > 7 \\ &x > \frac{7}{{39}}\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&2\left( {x - 4} \right) \leqslant \frac{{3x - 14}}{2}| \cdot 2 \\ &4\left( {x - 4} \right) \leqslant 3x - 14 \\ &4x - 16 \leqslant 3x - 14 \\ &4x - 3x \leqslant 16 - 14 \\ &x \leqslant 2\end{aligned} \end{array}$$

$$x \in \left\{ {1,2} \right\}$$