Сличност троуглова – понављање

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Дата је дуж $AB = 6,5cm$.

           а) Поделити дату дуж на 5 једнаких делова.

           б) Поделити дату дуж у размери 4:1.

           в) Одредити $\frac{3}{5}AB$

Пр.2)   У троуглу $KLM$ са слике је $ML\parallel NP$.

           а) Ако је $MN = 7cm,KM = 21cm$ и $KP = 10cm$, израчунати $LP$.

Пр.1)   Дата је дуж $AB = 6,5cm$.

а) Потребно поделити дату дуж на 5 једнаких делова.

Нацртаћемо дуж $AB = 6,5cm$. Констуишемо помоћну полуправу $Aр$ и на њој (произвољно) одредимо тачку ${A_1}$, а затим и тачке ${A_2},{A_3},{A_4},{A_5},$ тако да је $$A{A_1} = {A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4} = {A_4}{A_5}.$$ Затим кроз тачке

${A_1},{A_2},{A_3},{A_4},{A_5}$ конструишемо праве паралелне прави ${B,A_5}$. Те праве секу дуж $AB$ тачкама које је деле на пет једнаких делова.

б) Ако дуж треба поделити у размери $a:b(a,b \in N)$, најпре је треба поделити на $a+b$ једнаких делова, па изабрати одговарајућу тачку те дужи која је $a$ делова удаљена од једног краја и $b$ делова од другог краја дужи.

У овом задатку потребно поделити дату дуж у размери 4:1. Поступамо као у претходном примеру, али није потребно повлачити све паралеле, права која садржи тачку ${A_4}$ сече дуж $AB$ у траженој тачки.

$AM:MB = 4:1$

в) Поступамо као у претходном примеру, али овде је потребно одредити само дуж дужине $\frac{3}{5}AB$.

$AM = \frac{3}{5}AB$

Пр.2)  а)

Прво израчунамо дуж $KN$.$$KN = 21 - 7 = 14cm$$

Знамо да је $ML\parallel NP$ онда можемо користити Талесову теорему. Запишемо одговарајућу пропорцију:

$$\begin{aligned}&KN:KP = NM:LP \\ &14:10 = 7:LP \\ &LP \cdot 14 = 10 \cdot 7 \\ &LP = \frac{{10 \cdot 7}}{{14}} \\ &LP = 5cm\end{aligned}$$

  б)

Пр.4) У правоуглом троуглу $ABC$ висина $h_c$ дели хипотенузу на два одсечка $p$ и $q$, онда можемо записати $p + q = c$ 

Израчунати дужину хипотенузе $c$ у правоуглом троуглу $ABC$ можемо према Питагориној теореми.

$$\begin{aligned}&{c^2} = {a^2} + {b^2} \\ &{c^2} = {3^2} + {4^2} \\ &{c^2} = 9 + 16 \\ &{c^2} = 25 \\ &c = 5cm\end{aligned}$$

Висину ${h_c}$ можемо добити на основу површине

$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&P = \frac{{ab}}{2} \\ &P = \frac{{3 \cdot 4}}{2} \\ &P = 6c{m^2}\end{aligned} &\begin{aligned}&P = \frac{{c \cdot {h_c}}}{2} \\ &6 = \frac{{5 \cdot {h_c}}}{2} \\ &{h_c} = \frac{{12}}{5} = 2,4cm\end{aligned} \end{array}$$

Имамо формулу:

$$\begin{aligned}&{b^2} = q \cdot c \\ &{4^2} = q \cdot 5 \\ &16 = q \cdot 5 \\ &q = 3,2cm \\ &c = p + q \\ &5 = p + q \\ &p = 5 - 3,2 \\ &p = 1,8cm\end{aligned}$$