Примена сличности на правоугли троугао

Примена сличности на правоугли троугао. Решени задаци.

Висина $h$ из темена правог угла дели правоугли троугао на два мања троугла. Оба су слична целом троуглу и међусобно, јер сваки има прав угао и један оштар угао заједнички са великим троуглом. Ако висина дели хипотенузу $c$ на одсечке $p$ (уз катету $a$ ) и $q$ (уз катету $b$ ), из те сличности следи: $a^2 = c \cdot p$ , $b^2 = c \cdot q$ и $h^2 = p \cdot q$ .

Висину можете добити и из површине: $h = \frac{a \cdot b}{c}$ . Сабирањем прве две формуле добија се $a^2 + b^2 = c(p + q) = c^2$ , што је Питагорина теорема. Честа грешка је да се катета упари са погрешним одсечком: катета и њен одсечак имају заједничко теме на хипотенузи.

Положај темена C74°

p: 2,72 m
q: 4,78 m
h²: 12,99
p · q: 12,99

Теме

C

клизи по полукругу над хипотенузом, па је угао код

C

увек прав. Одсечци

p

и

q

се мењају, али је

h^2

увек једнако

p \cdot q

. За положај од 74° слика приближно одговара крову из примера.

Кад се две косине крова у слемену секу под правим углом, тесар из ширине таванице и положаја слемена овим формулама добија висину слемена и дужине рогова, без мерења на висини.

Кров са правим углом

Попречни пресек крова је правоугли троугао: две косине се у слемену секу под правим углом. Слеме је тачно изнад тачке која ширину таванице од 7,5 m дели на делове од 2,7 m и 4,8 m. Колико је слеме високо изнад таванице и колико су дугачке косине?

Решење

Висина из слемена је висина $h$ на хипотенузу $c = 7{,}5$ m, а одсечци су $p = 2{,}7$ m и $q = 4{,}8$ m.
$h^2 = p \cdot q = 2{,}7 \cdot 4{,}8 = 12{,}96$ , па је $h = 3{,}6$ m.
Краћа косина: $a^2 = c \cdot p = 7{,}5 \cdot 2{,}7 = 20{,}25$ , па је $a = 4{,}5$ m.
Дужа косина: $b^2 = c \cdot q = 7{,}5 \cdot 4{,}8 = 36$ , па је $b = 6$ m.
Провера: $4{,}5^2 + 6^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25 = 7{,}5^2$ .

Одговор: Слеме је 3,6 m изнад таванице, а косине су дугачке 4,5 m и 6 m.

Задатак за вежбу

Висина правоуглог троугла дели хипотенузу на одсечке $p = 9$ cm и $q = 16$ cm. Израчунајте висину $h$ и катете $a$ и $b$ .

Прикажи решење

$c = 9 + 16 = 25$ cm. $h^2 = 9 \cdot 16 = 144$ , па је $h = 12$ cm; $a^2 = 25 \cdot 9 = 225$ , $a = 15$ cm; $b^2 = 25 \cdot 16 = 400$ , $b = 20$ cm.