Запремина призме – понављање градива

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Упоредити запремине коцке ивице 6cm  и квадра димензија

           0,5cm, 0,6dm и 0,07m.

Пр.2)   Израчунати запремину павилне призме чија је основна ивица

            4cm, висина призме је 10cm, а призма је:

            а) тространа      б) четборострана     в) шестострана.

Пр.3)   Запремина павилне тростране призме је $20\sqrt 3 c{m^3}$, а висина

            призме је 5cm. Израчунати површину те призме.

Пр.4)   Израчунати запремину правилне четворостране призме чија је

            дијагонала 3,5cm, а дијагонала бочне стране је 2,5cm.

Пр.5)   Површина већег дијагоналног пресека правилне шестостране

            призме је 96$c{m^2}$, а висина призме и основна ивица су у

            размери 3:1. Израчунати запремину те призме.

Пр.1)   

$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{a_k} = 6cm \\ &\underline {{V_k} = ?} \\ &{V_k} = {a_k}^3 \\ &{V_k} = {6^3} \\ &{V_k} = 216c{m^3}\end{aligned} &{}&{}&\begin{aligned}&{a_{kv}} = 5cm \\ &{b_{kv}} = 0,6dm = 6cm \\ &\underline {{c_{kv}} = 0,07m = 7cm} \\ &{V_{kv}} = ? \\ &{V_{kv}} = {a_{kv}} \cdot {b_{kv}} \cdot {c_{kv}} \\ &{V_{kv}} = 5 \cdot 6 \cdot 7 \\ &{V_{kv}} = 210c{m^3}\end{aligned} \end{array}$$

]

$${V_k} > {V_{kv}}$$

Пр.2)   

а) тространа

$$\begin{aligned}&a = 4cm \\ &\underline {H = 10cm} \\ &V = ? \\ & \\ &V = B \cdot H \\ &B = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = \frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = \frac{{16\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 4\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &V = 4\sqrt 3 \cdot 10 \\ &V = 40\sqrt 3 c{m^3}\end{aligned}$$

б) четворострана  

$$\begin{aligned}&a = 4cm \\ &\underline {H = 10cm} \\ &V = ? \\ & \\ &V = B \cdot H \\ &B = {a^2} \\ &B = {4^2} \\ &B = 16c{m^2} \\ & \\ &V = 16 \cdot 10 \\ &V = 160c{m^3}\end{aligned}$$

в) шестострана

$$\begin{aligned}&a = 4cm \\ &\underline {H = 10cm} \\ &V = ? \\ & \\ &V = B \cdot H \\ &B = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 6 \cdot \frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 6 \cdot \frac{{16\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 24\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &V = 24\sqrt 3 \cdot 10 \\ &V = 240\sqrt 3 c{m^3}\end{aligned}$$

Пр.3)   

$$\begin{aligned}&V = 20\sqrt 3 c{m^3} \\ &\underline {H = 5cm} \\ &P = ? \\ & \\ &P = 2B + M \\ &V = B \cdot H \\ &20\sqrt 3 = B \cdot 5 \\ &B = \frac{{20\sqrt 3 }}{5} \\ &B = 4\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &B = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &4\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &{a^2}\sqrt 3 = 16\sqrt 3 \\ &{a^2} = 16 \\ &a = 4cm \\ & \\ &M = 3aH \\ &M = 3 \cdot 4 \cdot 5 \\ &M = 60c{m^2} \\ & \\ &P = 2 \cdot 4\sqrt 3 + 60 \\ &P = 8\sqrt 3 + 60c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.4)   

$$\begin{aligned}&D = 3,5cm \\ &\underline {d = 2,5cm} \\ &V = ? \\ & \\ &{D^2} = {d^2} + {a^2} \\ &{3,5^2} = {2,5^2} + {a^2} \\ &12,25 = 6,25 + {a^2} \\ &{a^2} = 12,25 - 6,25 \\ &{a^2} = 6 \\ &a = \sqrt 6 cm \\ & \\ &{d^2} = {a^2} + {H^2} \\ &{2,5^2} = {\left( {\sqrt 6 } \right)^2} + {H^2} \\ &{H^2} = 6,25 - 6 \\ &{H^2} = 0,25 \\ &H = 0,5cm \\ & \\ &B = {a^2} \\ &B = {\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 6cm \\ & \\ &V = B \cdot H \\ &V = 6 \cdot 0,5 \\ &V = 3c{m^3}\end{aligned}$$

Пр.5)   

$$\begin{aligned}&{P_{Vdp}} = 96c{m^2} \\ &\underline {H:a = 3:1} \\ &V = ? \\ & \\ &H = 3a \\ &{P_{Vdp}} = {d_v} \cdot H \\ &96 = 2a \cdot 3a \\ &96 = 6{a^2} \\ &{a^2} = 16 \\ &a = 4cm \\ & \\ &H = 3 \cdot a = 3 \cdot 4 = 12cm \\ & \\ &B = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 6 \cdot \frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = 24\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &V = B \cdot H \\ &V = 24\sqrt 3 \cdot 12 \\ &V = 288\sqrt 3 c{m^3}\end{aligned}$$