Линеарна неједначина са једном непознатом

Дефиниције, формуле, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Решити дате неједначине и скуп решења приказати на

бројевној правој:

а) $3x + 4 > 9$ б) $3 - x > 10$ в) $5 - \frac{x}{2} > 8$

Пр.1)

а)

$\begin{aligned}&3x + 4 > 9 \\ &3x > 9 - 4 \\ &3x > 5|:3 \\ &x > \frac{5}{3}\end{aligned}$

647 png

б)

$\begin{aligned}&3 - x > 10 \\ &- x > 10 - 3 \\ &- x > 7| \cdot \left( { - 1} \right) \\ &x < - 7\end{aligned}$

648 png

в)

$\begin{aligned}&5 - \frac{x}{2} > 8 \\ &- \frac{x}{2} > 8 - 5 \\ &- \frac{x}{2} > 3| \cdot \left( { - 2} \right) \\ &x < - 6\end{aligned}$

649 png

Линеарна неједначина са једном непознатом своди се на облик $ax > b$ (или са $<$ , $\le$ , $\ge$ ). Решавате је као линеарну једначину: чланове са непознатом оставите на једној страни, бројеве пребаците на другу уз промену знака, па поделите коефицијентом $a$ . Ако је $a > 0$ , знак неједнакости остаје: $4x > 6$ даје $x > \frac{3}{2}$ . Ако је $a < 0$ , знак се окреће: $-x > 2$ даје $x < -2$ .

Решење прикажите на бројевној правој: празан кружић за $<$ и $>$ , пун за $\le$ и $\ge$ . Најчешћа грешка је дељење негативним бројем без окретања знака.

Пређени пут x400 km

Остаје горива 45 − 0,06x: 21 l

Што више километара, то мање горива: израз

45 - 0{,}06x

опада, па решење

x \le 650

лежи лево од границе. Исто каже и рачун: дељење негативним бројем

-0{,}06

окреће знак.

Неједначином се рачуна колико далеко аутомобил може да стигне са горивом у резервоару, колико минута разговора стаје у месечни износ или колико робе сме да се натовари.

Гориво до следеће пумпе

Аутомобил креће из Ниша са 45 l горива и троши 6 l на 100 km, односно 0,06 l по километру. Возач жели да у резервоару увек остане бар 6 l горива. Колико километара највише може да пређе без точења?

Решење

После $x$ километара у резервоару остаје $45 - 0{,}06x$ литара, а то мора бити бар 6: $45 - 0{,}06x \ge 6$ .
Пребацимо 45 на десну страну: $-0{,}06x \ge 6 - 45$ , тј. $-0{,}06x \ge -39$ .
Делимо негативним бројем $-0{,}06$ , па се знак окреће: $x \le \frac{-39}{-0{,}06} = 650$ .

Одговор: Возач може да пређе највише 650 km, а да му остане бар 6 l горива.

Задатак за вежбу

Решите неједначину $4 - \frac{x}{3} \ge 6$ и решење прикажите интервалом.

Прикажи решење

$-\frac{x}{3} \ge 2$ ; множењем са $-3$ знак се окреће: $x \le -6$ , тј. $x \in (-\infty; -6]$ , са пуним кружићем у $-6$ .