Ортогонална пројекција

Дефиниција. Решени задаци.

Ортогонална пројекција тачке $A$ на раван $\alpha$ је подножје $A'$ нормале из $A$ на раван. Пројекција дужи $AB$ је дуж $A'B'$ која спаја пројекције њених крајева. Тачка која лежи у равни сама је своја пројекција.

Кад су крајеви са исте стране равни, дуж, њена пројекција и нормале из крајева чине правоугли трапез, а кад је један крај у равни, правоугли троугао. Зато се дужине рачунају Питагорином теоремом: ако $A$ лежи у равни, онда је $AB'^2 = AB^2 - BB'^2$ . Пројекција никад није дужа од саме дужи. Једнака јој је кад је дуж паралелна са равни, а своди се на тачку кад је дуж нормална на раван.

Висина тачке B изнад равни2,5 m

Дужина рога AB: 6,5 m
Пројекција AB′: 6 m

Рог

AB

је увек дугачак 6,5 m. Кад је

B

у равни, пројекција је једнака самом рогу. Што је

B

више, пројекција

AB'

је краћа, а кад је рог нормалан на раван, пројекција је само тачка.

Тлоцрти и мапе су ортогоналне пројекције на хоризонталну раван. Архитекте, геодети и картографи из њих, уз висинску разлику, рачунају праве дужине косих греда, путева и падина.

Рог крова на тлоцрту

На тлоцрту, цртежу куће гледане одозго, архитекта црта ортогоналну пројекцију крова на хоризонталну раван. Рог крова, греда од стрехе до слемена, дугачак је 6,5 m, а слеме је 2,5 m изнад стрехе. Колико је дугачак рог на тлоцрту?

Решење

Посматрамо хоризонталну раван кроз стреху. Доњи крај рога $A$ лежи у њој, па је сам своја пројекција.
Горњи крај $B$ је 2,5 m изнад те равни, па је $BB' = 2{,}5$ m, а дуж $BB'$ је нормална на $AB'$ .
Троугао $ABB'$ је правоугли са хипотенузом $AB$ : $AB'^2 = 6{,}5^2 - 2{,}5^2 = 42{,}25 - 6{,}25 = 36$ .
Одатле је $AB' = 6$ m.

Одговор: На тлоцрту је рог дугачак 6 m.

Задатак за вежбу

Дуж $AB$ дугачка 10 cm паралелна је са равни $\alpha$ и удаљена од ње 4 cm. Колика је њена пројекција на $\alpha$ ? Колика је пројекција дужи $CD$ од 10 cm ако тачка $C$ лежи у $\alpha$ , а $D$ је од $\alpha$ удаљена 6 cm?

Прикажи решење

$ABB'A'$ је правоугаоник, па је $A'B' = AB = 10$ cm. За $CD$ : $CD'^2 = 10^2 - 6^2 = 64$ , па је $CD' = 8$ cm.