Међусобни положај две праве у простору

Међусобни положај две праве у простору. Дефиниције и решени задаци.

Две праве у простору могу да се секу, да буду паралелне или мимоилазне. Праве које се секу имају тачно једну заједничку тачку и леже у једној равни. Паралелне праве леже у једној равни и немају заједничких тачака (или се поклапају). Мимоилазне праве немају заједничких тачака и не постоји раван која садржи обе.

Положаје је најлакше уочити на квадру $ABCDA_1B_1C_1D_1$ : праве $p(A, B)$ и $p(B, C)$ секу се у тачки $B$ , праве $p(A, B)$ и $p(C, D)$ су паралелне, а $p(A, B)$ и $p(C, C_1)$ мимоилазне. Честа грешка је закључак да су праве паралелне само зато што немају заједничку тачку. Проверите и да ли леже у истој равни.

Висина праве q2

Угао између праваца60°

Растојање између правих: 2
Угао између праваца: 60°

Права

p

лежи у равни

\alpha

, а права

q

у равни

\beta

на висини

h

. Кад је

h = 0

, праве леже у истој равни и секу се (при углу од 0° се поклапају). Кад је

h > 0

, а угао 0°, праве су паралелне. У свим осталим положајима праве су мимоилазне: немају заједничку тачку и не леже у истој равни.

Мимоилазне праве срећете код сваког надвожњака: пут на мосту и пут испод њега нити се секу нити су паралелни. Инжењери рачунају растојање између таквих праваца кад постављају мостове, каблове и цеви.

Ивице собе

Соба има облик квадра $ABCDA_1B_1C_1D_1$ : под је $ABCD$ , а таваница $A_1B_1C_1D_1$ . Посматрајте ивицу $AB$ , где се под спаја са зидом испод прозора. Колико ивица собе је паралелно са $AB$ , колико их сече $AB$ , а колико је са њом мимоилазно?

Решење

Паралелне са $AB$ су ивице $CD$ , $A_1B_1$ и $C_1D_1$ : свака лежи са $AB$ у једној равни и нема са њом заједничку тачку.
Ивицу $AB$ секу ивице са којима има заједничко теме: $AD$ и $AA_1$ у тачки $A$ , $BC$ и $BB_1$ у тачки $B$ .
Остају $CC_1$ , $DD_1$ , $A_1D_1$ и $B_1C_1$ . Оне немају заједничку тачку са $AB$ и нису паралелне са њом, па су мимоилазне.
Провера: $3 + 4 + 4 = 11$ , а то су све ивице квадра осим саме $AB$ .

Одговор: Са ивицом $AB$ паралелне су 3 ивице, 4 је секу, а 4 су са њом мимоилазне.

Задатак за вежбу

У коцки $ABCDA_1B_1C_1D_1$ одредите међусобни положај правих: а) $p(A, B)$ и $p(C_1, D_1)$ ; б) $p(B, C)$ и $p(D, D_1)$ ; в) $p(A, D)$ и $p(D, D_1)$ .

Прикажи решење

а) Паралелне су (леже у равни $ABC_1D_1$ ). б) Мимоилазне су. в) Секу се у тачки $D$ .