Талесова теорема 1

Талесова теорема и њена примена. Решени задаци.

Талесова теорема: ако кракове угла са теменом $S$ пресеку две паралелне праве, одсечци на једном краку пропорционални су одговарајућим одсечцима на другом. Ако су $A$ и $C$ на једном краку, $B$ и $D$ на другом, и $AB \parallel CD$ , онда је $SA : SC = SB : SD$ и $SA : AC = SB : BD$ . Паралелне дужи односе се као одсечци мерени од темена: $AB : CD = SA : SC$ .

Пропорцију решавате тако што изједначите производ спољашњих и производ унутрашњих чланова. Честа грешка је да се у пропорцију са паралелним дужима упише $AC$ уместо $SC$ : паралелне дужи увек поредите са целим одсечцима од темена $S$ .

SA : SC: 0,417
SB : SD: 0,417
AB : CD: 0,417

Превуците тачку

A

или

C

дуж крака, или окрените други крак тачком

D

. Права

AB

остаје паралелна са

CD

, а односи

SA : SC

и

SB : SD

остају међусобно једнаки.

Талесова теорема омогућава мерење онога до чега се не може доћи: висине дрвета, зграде или стуба по сенци, ширине реке или удаљености брода. Геометри и шумари и данас користе тај принцип у мерним справама.

Висина дрвета по сенци

Ученици желе да измере висину дрвета у школском дворишту. Усправили су мотку дугу 1,5 m тако да се врх њене сенке поклапа са врхом сенке дрвета. Сенка мотке је дуга 2 m, а сенка дрвета 12 m. Колико је високо дрво?

Решење

Означимо: $S$ је заједнички врх сенки, $A$ подножје мотке, $C$ подножје дрвета, $B$ врх мотке и $D$ врх дрвета. Тачке $S$ , $A$ , $C$ су на тлу, а $S$ , $B$ , $D$ на истом сунчевом зраку.
Мотка и дрво су вертикални, па је $AB \parallel CD$ и важи Талесова теорема: $AB : CD = SA : SC$ .
Уврстимо: $1{,}5 : CD = 2 : 12$ , па је $2 \cdot CD = 1{,}5 \cdot 12 = 18$ .
Одатле је $CD = 18 : 2 = 9$ m.

Одговор: Дрво је високо 9 m.

Задатак за вежбу

Кракове угла са теменом $S$ секу паралелне праве $AB$ и $CD$ (тачке $A$ и $C$ су на једном краку, $B$ и $D$ на другом). Ако је $SA = 4$ cm, $AC = 6$ cm и $SB = 5$ cm, израчунајте $BD$ и $SD$ .

Прикажи решење

Из $SA : AC = SB : BD$ је $4 : 6 = 5 : BD$ , па је $BD = \frac{6 \cdot 5}{4} = 7{,}5$ cm, а $SD = 5 + 7{,}5 = 12{,}5$ cm.