Решени задаци.
Задаци Текст задатака објашњених у видео лекцији:
Пр.1) Решити неједначине:
а) x − 3 2 < − 1 \frac{{x - 3}}{2} < - 1 2 x − 3 < − 1
б) 3 − x − 2 5 ⩽ 1 3 - \frac{{x - 2}}{5} \leqslant 1 3 − 5 x − 2 ⩽ 1
в) 4 − x − 1 6 ⩽ x 3 4 - \frac{{x - 1}}{6} \leqslant \frac{x}{3} 4 − 6 x − 1 ⩽ 3 x
Пр.2) Решити неједначине:
а) 7 − x 2 − 3 < 3 + 4 x 5 − 4 \frac{{7 - x}}{2} - 3 < \frac{{3 + 4x}}{5} - 4 2 7 − x − 3 < 5 3 + 4 x − 4
б) x − 3 3 > 1 + x − 6 15 \frac{{x - 3}}{3} > 1 + \frac{{x - 6}}{{15}} 3 x − 3 > 1 + 15 x − 6
Пр.3) Решити неједначине:
а) x + 1 5 − x − 3 3 ⩽ 2 x − 2 5 − 3 − x 2 \frac{{x + 1}}{5} - \frac{{x - 3}}{3} \leqslant \frac{{2x - 2}}{5} - \frac{{3 - x}}{2} 5 x + 1 − 3 x − 3 ⩽ 5 2 x − 2 − 2 3 − x
б) 1 + x − 6 3 2 − x 2 − 3 + x 4 2 ⩽ 3 − x \frac{{1 + \frac{{x - 6}}{3}}}{2} - \frac{{\frac{x}{2} - \frac{{3 + x}}{4}}}{2} \leqslant 3 - x 2 1 + 3 x − 6 − 2 2 x − 4 3 + x ⩽ 3 − x
Пр.4) Одредити x x x 3 x − 2 3 \frac{{3x - 2}}{3} 3 3 x − 2
и 3 x + 1 2 \frac{{3x + 1}}{2} 2 3 x + 1
Пр.1)
x − 3 2 < − 1 x − 3 < − 2 x < − 2 + 3 x < 1 3 − x − 2 5 1 x − 2 5 ⩾ 3 − 1 x − 2 5 ⩾ 2 x − 2 ⩾ 10 x ⩾ 12 4 − x − 1 6 x 3 ∣ ⋅ 6 4 ⋅ 6 − x − 1 6 ⋅ 6 x 3 ⋅ 6 24 − x + 12 x − x − 2 x ⩽ − 25 x ⩾ 25 3 x ⩾ 8 1 3 \begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\frac{{x - 3}}{2} < - 1 \\ &x - 3 < - 2 \\ &x < - 2 + 3 \\ &x < 1\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&3 - \frac{{x - 2}}{5}1 \\ &\frac{{x - 2}}{5} \geqslant 3 - 1 \\ &\frac{{x - 2}}{5} \geqslant 2 \\ &x - 2 \geqslant 10 \\ &x \geqslant 12\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&4 - \frac{{x - 1}}{6}\frac{x}{3}| \cdot 6 \\ &4 \cdot 6 - \frac{{x - 1}}{6} \cdot 6\frac{x}{3} \cdot 6 \\ &24 - x + 12x \\ &- x - 2x \leqslant - 25 \\ &x \geqslant \frac{{25}}{3} \\ &x \geqslant 8\frac{1}{3}\end{aligned} \end{array} 2 x − 3 < − 1 x − 3 < − 2 x < − 2 + 3 x < 1 3 − 5 x − 2 1 5 x − 2 ⩾ 3 − 1 5 x − 2 ⩾ 2 x − 2 ⩾ 10 x ⩾ 12 4 − 6 x − 1 3 x ∣ ⋅ 6 4 ⋅ 6 − 6 x − 1 ⋅ 6 3 x ⋅ 6 24 − x + 12 x − x − 2 x ⩽ − 25 x ⩾ 3 25 x ⩾ 8 3 1
Пр.2)
а)
7 − x 2 − 3 < 3 + 4 x 5 − 4 ∣ ⋅ 10 7 − x 2 ⋅ 10 − 3 ⋅ 10 < 3 + 4 x 5 ⋅ 10 − 4 ⋅ 10 ( 7 − x ) ⋅ 5 − 30 < ( 3 + 4 x ) ⋅ 2 − 40 35 − 5 x − 30 < 6 + 8 x − 40 − 5 x − 8 x < 6 − 40 − 35 + 30 − 13 x < − 39 ∣ : ( − 13 ) x > 3 \begin{aligned}&\frac{{7 - x}}{2} - 3 < \frac{{3 + 4x}}{5} - 4\left| { \cdot 10} \right. \\ &\frac{{7 - x}}{2} \cdot 10 - 3 \cdot 10 < \frac{{3 + 4x}}{5} \cdot 10 - 4 \cdot 10 \\ &\left( {7 - x} \right) \cdot 5 - 30 < \left( {3 + 4x} \right) \cdot 2 - 40 \\ &35 - 5x - 30 < 6 + 8x - 40 \\ &- 5x - 8x < 6 - 40 - 35 + 30 \\ &- 13x < - 39|:\left( { - 13} \right) \\ &x > 3\end{aligned} 2 7 − x − 3 < 5 3 + 4 x − 4 ∣ ⋅ 10 2 7 − x ⋅ 10 − 3 ⋅ 10 < 5 3 + 4 x ⋅ 10 − 4 ⋅ 10 ( 7 − x ) ⋅ 5 − 30 < ( 3 + 4 x ) ⋅ 2 − 40 35 − 5 x − 30 < 6 + 8 x − 40 − 5 x − 8 x < 6 − 40 − 35 + 30 − 13 x < − 39∣ : ( − 13 ) x > 3
б)
x − 3 3 > 1 + x − 6 15 ∣ ⋅ 15 x − 3 3 ⋅ 15 > 1 ⋅ 15 + x − 6 15 ⋅ 15 ( x − 3 ) ⋅ 5 > 15 + x − 6 5 x − 15 > 15 + x − 6 5 x − x > 15 − 6 + 15 4 x > 24 ∣ : 4 x > 6 \begin{aligned}&\frac{{x - 3}}{3} > 1 + \frac{{x - 6}}{{15}}| \cdot 15 \\ &\frac{{x - 3}}{3} \cdot 15 > 1 \cdot 15 + \frac{{x - 6}}{{15}} \cdot 15 \\ &\left( {x - 3} \right) \cdot 5 > 15 + x - 6 \\ &5x - 15 > 15 + x - 6 \\ &5x - x > 15 - 6 + 15 \\ &4x > 24|:4 \\ &x > 6\end{aligned} 3 x − 3 > 1 + 15 x − 6 ∣ ⋅ 15 3 x − 3 ⋅ 15 > 1 ⋅ 15 + 15 x − 6 ⋅ 15 ( x − 3 ) ⋅ 5 > 15 + x − 6 5 x − 15 > 15 + x − 6 5 x − x > 15 − 6 + 15 4 x > 24∣ : 4 x > 6
Пр.3)
а)
x + 1 5 − x − 3 3 2 x − 2 5 − 3 − x 2 ∣ ⋅ 30 x + 1 5 ⋅ 30 − x − 3 3 ⋅ 30 2 x − 2 5 ⋅ 30 − 3 − x 2 ⋅ 30 ( x + 1 ) ⋅ 6 − ( x − 3 ) ⋅ 10 ⩽ ( 2 x − 2 ) ⋅ 6 − ( 3 − x ) ⋅ 15 6 x + 6 − 10 x + 30 ⩽ 12 x − 12 − 45 + 15 x 6 x − 10 x − 12 x − 15 x ⩽ − 12 − 45 − 6 − 30 − 31 x ⩽ − 93 ∣ : − 31 x ⩾ 3 \begin{aligned}&\frac{{x + 1}}{5} - \frac{{x - 3}}{3}\frac{{2x - 2}}{5} - \frac{{3 - x}}{2}| \cdot 30 \\ &\frac{{x + 1}}{5} \cdot 30 - \frac{{x - 3}}{3} \cdot 30\frac{{2x - 2}}{5} \cdot 30 - \frac{{3 - x}}{2} \cdot 30 \\ &\left( {x + 1} \right) \cdot 6 - \left( {x - 3} \right) \cdot 10 \leqslant \left( {2x - 2} \right) \cdot 6 - \left( {3 - x} \right) \cdot 15 \\ &6x + 6 - 10x + 30 \leqslant 12x - 12 - 45 + 15x \\ &6x - 10x - 12x - 15x \leqslant - 12 - 45 - 6 - 30 \\ &- 31x \leqslant - 93|: - 31 \\ &x \geqslant 3\end{aligned} 5 x + 1 − 3 x − 3 5 2 x − 2 − 2 3 − x ∣ ⋅ 30 5 x + 1 ⋅ 30 − 3 x − 3 ⋅ 30 5 2 x − 2 ⋅ 30 − 2 3 − x ⋅ 30 ( x + 1 ) ⋅ 6 − ( x − 3 ) ⋅ 10 ⩽ ( 2 x − 2 ) ⋅ 6 − ( 3 − x ) ⋅ 15 6 x + 6 − 10 x + 30 ⩽ 12 x − 12 − 45 + 15 x 6 x − 10 x − 12 x − 15 x ⩽ − 12 − 45 − 6 − 30 − 31 x ⩽ − 93∣ : − 31 x ⩾ 3
б)
1 + x − 6 3 2 − x 2 − 3 + x 4 2 3 − x ∣ ⋅ 2 1 + x − 6 3 2 ⋅ 2 − x 2 − 3 + x 4 2 ⋅ 2 ( 3 − x ) ⋅ 2 1 + x − 6 3 − ( x 2 − 3 + x 4 ) ⩽ 6 − 2 x ∣ ⋅ 12 12 + x − 6 3 ⋅ 12 − x 2 ⋅ 12 + 3 + x 4 ⋅ 12 ⩽ 6 ⋅ 12 − 2 x ⋅ 12 12 + ( x − 6 ) ⋅ 4 − x ⋅ 6 + ( 3 + x ) ⋅ 3 ⩽ 72 − 24 x 12 + 4 x − 24 − 6 x + 9 + 3 x ⩽ 72 − 24 x 4 x − 6 x + 3 x + 24 x ⩽ 72 − 12 + 24 − 9 25 x ⩽ 75 ∣ : 25 x ⩽ 3 \begin{aligned}&\frac{{1 + \frac{{x - 6}}{3}}}{2} - \frac{{\frac{x}{2} - \frac{{3 + x}}{4}}}{2}3 - x| \cdot 2 \\ &\frac{{1 + \frac{{x - 6}}{3}}}{2} \cdot 2 - \frac{{\frac{x}{2} - \frac{{3 + x}}{4}}}{2} \cdot 2\left( {3 - x} \right) \cdot 2 \\ &1 + \frac{{x - 6}}{3} - \left( {\frac{x}{2} - \frac{{3 + x}}{4}} \right) \leqslant 6 - 2x| \cdot 12 \\ &12 + \frac{{x - 6}}{3} \cdot 12 - \frac{x}{2} \cdot 12 + \frac{{3 + x}}{4} \cdot 12 \leqslant 6 \cdot 12 - 2x \cdot 12 \\ &12 + \left( {x - 6} \right) \cdot 4 - x \cdot 6 + \left( {3 + x} \right) \cdot 3 \leqslant 72 - 24x \\ &12 + 4x - 24 - 6x + 9 + 3x \leqslant 72 - 24x \\ &4x - 6x + 3x + 24x \leqslant 72 - 12 + 24 - 9 \\ &25x \leqslant 75|:25 \\ &x \leqslant 3\end{aligned} 2 1 + 3 x − 6 − 2 2 x − 4 3 + x 3 − x ∣ ⋅ 2 2 1 + 3 x − 6 ⋅ 2 − 2 2 x − 4 3 + x ⋅ 2 ( 3 − x ) ⋅ 2 1 + 3 x − 6 − ( 2 x − 4 3 + x ) ⩽ 6 − 2 x ∣ ⋅ 12 12 + 3 x − 6 ⋅ 12 − 2 x ⋅ 12 + 4 3 + x ⋅ 12 ⩽ 6 ⋅ 12 − 2 x ⋅ 12 12 + ( x − 6 ) ⋅ 4 − x ⋅ 6 + ( 3 + x ) ⋅ 3 ⩽ 72 − 24 x 12 + 4 x − 24 − 6 x + 9 + 3 x ⩽ 72 − 24 x 4 x − 6 x + 3 x + 24 x ⩽ 72 − 12 + 24 − 9 25 x ⩽ 75∣ : 25 x ⩽ 3
Пр.4)
3 x − 2 3 − 3 x + 1 2 ⩽ − 1 ∣ ⋅ 6 3 x − 2 3 ⋅ 6 − 3 x + 1 2 ⋅ 6 ⩽ − 6 6 x − 4 − 9 x − 3 ⩽ − 6 − 3 x ⩽ − 6 + 4 + 3 − 3 x ⩽ 1 ∣ : ( − 3 ) x ⩾ − 1 3 x ∈ [ − 1 3 ; + ∞ ) \begin{aligned}&\frac{{3x - 2}}{3} - \frac{{3x + 1}}{2} \leqslant - 1| \cdot 6 \\ &\frac{{3x - 2}}{3} \cdot 6 - \frac{{3x + 1}}{2} \cdot 6 \leqslant - 6 \\ &6x - 4 - 9x - 3 \leqslant - 6 \\ &- 3x \leqslant - 6 + 4 + 3 \\ &- 3x \leqslant 1|:\left( { - 3} \right) \\ &x \geqslant - \frac{1}{3} \\ &x \in \left[ { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\end{aligned} 3 3 x − 2 − 2 3 x + 1 ⩽ − 1∣ ⋅ 6 3 3 x − 2 ⋅ 6 − 2 3 x + 1 ⋅ 6 ⩽ − 6 6 x − 4 − 9 x − 3 ⩽ − 6 − 3 x ⩽ − 6 + 4 + 3 − 3 x ⩽ 1∣ : ( − 3 ) x ⩾ − 3 1 x ∈ [ − 3 1 ; + ∞ )
У к р а т к о Неједначине са разломцима решавате тако што обе стране помножите најмањим заједничким садржаоцем свих имениоца. За имениоце 2, 3 и 5 то је 30. Тај број је позитиван, па знак неједнакости остаје. Помножите сваки члан, и онај без разломка: 2 − x + 1 4 ≤ 1 ∣ ⋅ 4 2 - \frac{x + 1}{4} \le 1 \mid \cdot 4 2 − 4 x + 1 ≤ 1 ∣ ⋅ 4 8 − ( x + 1 ) ≤ 4 8 - (x + 1) \le 4 8 − ( x + 1 ) ≤ 4
Бројилац ставите у заграду, јер минус испред разломка мења знак сваком члану: − ( x + 1 ) = − x − 1 -(x + 1) = -x - 1 − ( x + 1 ) = − x − 1 x x x − x ≤ − 3 -x \le -3 − x ≤ − 3 x ≥ 3 x \ge 3 x ≥ 3 − 1 -1 − 1 ≤ − 1 \le -1 ≤ − 1 ≥ 17 \ge 17 ≥ 17
П о м е р и т е б р о ј п о е н а x 0 5 10 15 20 15 ≤ x ≤ 20 x = 12Просек достиже 17 тек за x = 15 x = 15 x = 15 53 + x ≥ 68 53 + x \ge 68 53 + x ≥ 68 П р и м е р и з ж и в о т а Просек оцена или бодова је разломак, па се питање „колико ми треба на следећем тесту“ решава неједначином са разломком.
Бодови за петицу Ученица из Новог Сада је на три контролна из математике освојила 18, 15 и 20 поена, од највише 20. За петицу јој треба просек од бар 17 поена. Колико поена мора да освоји на четвртом контролном?
Решење Ако на четвртом освоји x x x 18 + 15 + 20 + x 4 ≥ 17 \frac{18 + 15 + 20 + x}{4} \ge 17 4 18 + 15 + 20 + x ≥ 17 53 + x 4 ≥ 17 \frac{53 + x}{4} \ge 17 4 53 + x ≥ 17 Множимо са 4 (позитиван број, знак остаје): 53 + x ≥ 68 53 + x \ge 68 53 + x ≥ 68 x ≥ 68 − 53 = 15 x \ge 68 - 53 = 15 x ≥ 68 − 53 = 15 Највише се може освојити 20 поена, па је 15 ≤ x ≤ 20 15 \le x \le 20 15 ≤ x ≤ 20 Одговор: На четвртом контролном треба да освоји бар 15 поена.
Задатак за вежбу Решите неједначину x + 1 2 − x − 2 3 > 2 \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > 2 2 x + 1 − 3 x − 2 > 2
Прикажи решење Помножимо са 6: 3 ( x + 1 ) − 2 ( x − 2 ) > 12 3(x + 1) - 2(x - 2) > 12 3 ( x + 1 ) − 2 ( x − 2 ) > 12 3 x + 3 − 2 x + 4 > 12 3x + 3 - 2x + 4 > 12 3 x + 3 − 2 x + 4 > 12 x + 7 > 12 x + 7 > 12 x + 7 > 12 x > 5 x > 5 x > 5
