Почетна Видео лекције Осми разред основне школе Површина пирамиде Површина пирамиде Дефиниције, формуле, решени задаци.
Задаци Текст задатака објашњених у видео лекцији.
Пр.1) Израчунати површину правилне четворостране пирамиде чија је
основна ивица 6 cm, а апотема 9 cm.
Пр.2) Израчунати површину правилне четворостране пирамиде чија је
основна ивица 10 cm, а бочна ивица 13cm.
Пр.3) Површина основе правилне четворостране пирамиде је 144 c m 2 c{m^2} c m 2
а висина пирамиде је 8cm. Израчунати површину.
Пр.4) Површина правилне четворостране пирамиде је 84c m 2 c{m^2} c m 2
површина омотача је 48c m 2 c{m^2} c m 2
висину пирамиде.
Пр.5) Површина омотача правилне четворостране пирамиде је 432c m 2 c{m^2} c m 2
а основна и бочна ивица су у размери 6:5. Израчунати површину
те пирамиде.
Пр.1)
a = 6 c m h = 9 c m ‾ P = ? P = B + M B = a 2 = 6 2 = 36 c m 2 M = 4 ⋅ a ⋅ h 2 = 4 ⋅ 6 ⋅ 9 2 = 108 c m 2 P = 36 + 108 = 144 c m 2 \begin{aligned}&a = 6cm \\ &\underline {h = 9cm} \\ &P = ? \\ &P = B + M \\ &B = {a^2} = {6^2} = 36c{m^2} \\ &M = 4 \cdot \frac{{a \cdot h}}{2} = 4 \cdot \frac{{6 \cdot 9}}{2} = 108c{m^2} \\ &P = 36 + 108 = 144c{m^2}\end{aligned} a = 6 c m h = 9 c m P = ? P = B + M B = a 2 = 6 2 = 36 c m 2 M = 4 ⋅ 2 a ⋅ h = 4 ⋅ 2 6 ⋅ 9 = 108 c m 2 P = 36 + 108 = 144 c m 2
Пр.2)
a = 10 c m s = 13 c m ‾ P = ? s 2 = h 2 + ( a 2 ) 2 13 2 = h 2 + ( 10 2 ) 2 13 2 = h 2 + ( 5 ) 2 169 = h 2 + 25 h 2 = 169 − 25 h 2 = 144 h = 12 c m B = a 2 B = 10 2 = 100 c m 2 M = 4 ⋅ a ⋅ h 2 = 4 ⋅ 10 ⋅ 12 2 = 240 c m 2 P = B + M P = 100 + 240 = 340 c m 2 \begin{aligned}&a = 10cm \\ &\underline {s = 13cm} \\ &P = ? \\ & \\ &{s^2} = {h^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{13^2} = {h^2} + {\left( {\frac{{10}}{2}} \right)^2} \\ &{13^2} = {h^2} + {\left( 5 \right)^2} \\ &169 = {h^2} + 25 \\ &{h^2} = 169 - 25 \\ &{h^2} = 144 \\ &h = 12cm \\ & \\ &B = {a^2} \\ &B = {10^2} = 100c{m^2} \\ &M = 4 \cdot \frac{{a \cdot h}}{2} = 4 \cdot \frac{{10 \cdot 12}}{2} = 240c{m^2} \\ & \\ &P = B + M \\ &P = 100 + 240 = 340c{m^2}\end{aligned} a = 10 c m s = 13 c m P = ? s 2 = h 2 + ( 2 a ) 2 1 3 2 = h 2 + ( 2 10 ) 2 1 3 2 = h 2 + ( 5 ) 2 169 = h 2 + 25 h 2 = 169 − 25 h 2 = 144 h = 12 c m B = a 2 B = 1 0 2 = 100 c m 2 M = 4 ⋅ 2 a ⋅ h = 4 ⋅ 2 10 ⋅ 12 = 240 c m 2 P = B + M P = 100 + 240 = 340 c m 2
Пр.3)
B = 144 c m 2 H = 8 c m ‾ P = ? P = B + M M = 4 a ⋅ h 2 B = a 2 144 = a 2 a = 12 c m h 2 = H 2 + ( a 2 ) 2 h 2 = 8 2 + ( 12 2 ) 2 h 2 = 64 + 36 h 2 = 100 h = 10 c m M = 4 12 ⋅ 10 2 = 240 c m 2 P = B + M = 144 + 240 = 384 c m 2 \begin{aligned}&B = 144c{m^2} \\ &\underline {H = 8cm} \\ &P = ? \\ & \\ &P = B + M \\ & \\ &M = 4\frac{{a \cdot h}}{2} \\ &B = {a^2} \\ &144 = {a^2} \\ &a = 12cm \\ & \\ &{h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{h^2} = {8^2} + {\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2} \\ &{h^2} = 64 + 36 \\ &{h^2} = 100 \\ &h = 10cm \\ & \\ &M = 4\frac{{12 \cdot 10}}{2} = 240c{m^2} \\ & \\ &P = B + M = 144 + 240 = 384c{m^2}\end{aligned} B = 144 c m 2 H = 8 c m P = ? P = B + M M = 4 2 a ⋅ h B = a 2 144 = a 2 a = 12 c m h 2 = H 2 + ( 2 a ) 2 h 2 = 8 2 + ( 2 12 ) 2 h 2 = 64 + 36 h 2 = 100 h = 10 c m M = 4 2 12 ⋅ 10 = 240 c m 2 P = B + M = 144 + 240 = 384 c m 2
Пр.4)
P = 84 c m 2 M = 48 c m 2 ‾ s , H = ? P = B + M 84 = B + 48 B = 84 − 48 = 36 c m 2 B = a 2 36 = a 2 a = 36 = 6 c m M = 4 a ⋅ h 2 48 = 4 6 ⋅ h 2 48 = 12 ⋅ h h = 48 : 12 = 4 c m h 2 = H 2 + ( a 2 ) 2 4 2 = H 2 + ( 6 2 ) 2 16 = H 2 + 9 H 2 = 16 − 9 = 7 H = 7 c m s 2 = h 2 + ( a 2 ) 2 s 2 = 4 2 + ( 6 2 ) 2 s 2 = 16 + 9 s 2 = 25 s = 5 c m \begin{aligned}&P = 84c{m^2} \\ &\underline {M = 48c{m^2}} \\ &s,H = ? \\ & \\ &P = B + M \\ &84 = B + 48 \\ &B = 84 - 48 = 36c{m^2} \\ & \\ &B = {a^2} \\ &36 = {a^2} \\ &a = \sqrt {36} = 6cm \\ & \\ &M = 4\frac{{a \cdot h}}{2} \\ &48 = 4\frac{{6 \cdot h}}{2} \\ &48 = 12 \cdot h \\ &h = 48:12 = 4cm \\ & \\ &{h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{4^2} = {H^2} + {\left( {\frac{6}{2}} \right)^2} \\ &16 = {H^2} + 9 \\ &{H^2} = 16 - 9 = 7 \\ &H = \sqrt 7 cm \\ & \\ &{s^2} = {h^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{s^2} = {4^2} + {\left( {\frac{6}{2}} \right)^2} \\ &{s^2} = 16 + 9 \\ &{s^2} = 25 \\ &s = 5cm\end{aligned} P = 84 c m 2 M = 48 c m 2 s , H = ? P = B + M 84 = B + 48 B = 84 − 48 = 36 c m 2 B = a 2 36 = a 2 a = 36 = 6 c m M = 4 2 a ⋅ h 48 = 4 2 6 ⋅ h 48 = 12 ⋅ h h = 48 : 12 = 4 c m h 2 = H 2 + ( 2 a ) 2 4 2 = H 2 + ( 2 6 ) 2 16 = H 2 + 9 H 2 = 16 − 9 = 7 H = 7 c m s 2 = h 2 + ( 2 a ) 2 s 2 = 4 2 + ( 2 6 ) 2 s 2 = 16 + 9 s 2 = 25 s = 5 c m
Пр.5)
a : s = 6 : 5 a = 6 k s = 5 k M = 48 c m 2 ‾ P = ? s 2 = h 2 + ( a 2 ) 2 ( 5 k ) 2 = h 2 + ( 6 k 2 ) 2 25 k 2 = h 2 + ( 3 k ) 2 25 k 2 = h 2 + 9 k 2 h 2 = 16 k 2 h = 4 k M = 4 a ⋅ h 2 432 = 4 ⋅ 6 k ⋅ 4 k 2 432 = 48 ⋅ 6 k ⋅ 4 k 2 432 = 48 ⋅ k 2 k 2 = 9 k = 3 a = 6 k = 6 ⋅ 3 = 18 c m B = a 2 = 18 2 = 324 c m 2 P = B + M = 324 + 432 = 756 c m 2 \begin{aligned}&a:s = 6:5 \\ &a = 6k \\ &s = 5k \\ &\underline {M = 48c{m^2}} \\ &P = ? \\ & \\ &{s^2} = {h^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{\left( {5k} \right)^2} = {h^2} + {\left( {\frac{{6k}}{2}} \right)^2} \\ &25{k^2} = {h^2} + {\left( {3k} \right)^2} \\ &25{k^2} = {h^2} + 9{k^2} \\ &{h^2} = 16{k^2} \\ &h = 4k \\ & \\ &M = 4\frac{{a \cdot h}}{2} \\ &432 = 4 \cdot \frac{{6k \cdot 4k}}{2} \\ &432 = 48 \cdot \frac{{6k \cdot 4k}}{2} \\ &432 = 48 \cdot {k^2} \\ &{k^2} = 9 \\ &k = 3 \\ & \\ &a = 6k = 6 \cdot 3 = 18cm \\ &B = {a^2} = {18^2} = 324c{m^2} \\ & \\ &P = B + M = 324 + 432 = 756c{m^2}\end{aligned} a : s = 6 : 5 a = 6 k s = 5 k M = 48 c m 2 P = ? s 2 = h 2 + ( 2 a ) 2 ( 5 k ) 2 = h 2 + ( 2 6 k ) 2 25 k 2 = h 2 + ( 3 k ) 2 25 k 2 = h 2 + 9 k 2 h 2 = 16 k 2 h = 4 k M = 4 2 a ⋅ h 432 = 4 ⋅ 2 6 k ⋅ 4 k 432 = 48 ⋅ 2 6 k ⋅ 4 k 432 = 48 ⋅ k 2 k 2 = 9 k = 3 a = 6 k = 6 ⋅ 3 = 18 c m B = a 2 = 1 8 2 = 324 c m 2 P = B + M = 324 + 432 = 756 c m 2
У к р а т к о Површина пирамиде је збир основе и омотача: P = B + M P = B + M P = B + M a a a h h h M = 4 ⋅ a ⋅ h 2 = 2 a h M = 4 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = 2ah M = 4 ⋅ 2 a ⋅ h = 2 ah B = a 2 B = a^2 B = a 2
Апотему често прво рачунате Питагорином теоремом: из висине пирамиде h 2 = H 2 + ( a 2 ) 2 h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 h 2 = H 2 + ( 2 a ) 2 h 2 = s 2 − ( a 2 ) 2 h^2 = s^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 h 2 = s 2 − ( 2 a ) 2 a : s = 6 : 5 a : s = 6 : 5 a : s = 6 : 5 a = 6 k a = 6k a = 6 k s = 5 k s = 5k s = 5 k P P P M M M B = P − M B = P - M B = P − M H H H h h h
Р а з в и ј т е к р о в у м р е ж у Основна ивица a 6 m
Висина H 4 m
Мрежа
Апотема h 5 m
Омотач M 60 m²
Површина P 96 m² Омотач су четири троугла са основицом a a a h h h H H H П р и м е р и з ж и в о т а Лимари и кровопокривачи из омотача пирамиде рачунају колико лима или црепа иде на пирамидални кров куле, сенице или звоника.
Лим за кров сенице Кров дрвене сенице у парку у Сомбору има облик правилне четворостране пирамиде. Основна ивица крова је 6 m, а висина крова 4 m. Колико квадратних метара лима треба за кров?
Решење Кров нема основу, па рачунамо само омотач M = 2 a h M = 2ah M = 2 ah Апотема: h 2 = H 2 + ( a 2 ) 2 = 4 2 + 3 2 = 25 h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 4^2 + 3^2 = 25 h 2 = H 2 + ( 2 a ) 2 = 4 2 + 3 2 = 25 h = 5 h = 5 h = 5 M = 2 a h = 2 ⋅ 6 ⋅ 5 = 60 M = 2ah = 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60 M = 2 ah = 2 ⋅ 6 ⋅ 5 = 60 Цела пирамида имала би P = B + M = 36 + 60 = 96 P = B + M = 36 + 60 = 96 P = B + M = 36 + 60 = 96 Одговор: За кров сенице треба 60 m² лима.
Задатак за вежбу Израчунајте површину правилне четворостране пирамиде чија је основна ивица 16 cm, а бочна ивица 17 cm.
Прикажи решење h 2 = 17 2 − 8 2 = 225 h^2 = 17^2 - 8^2 = 225 h 2 = 1 7 2 − 8 2 = 225 h = 15 h = 15 h = 15 B = 256 B = 256 B = 256 M = 2 ⋅ 16 ⋅ 15 = 480 M = 2 \cdot 16 \cdot 15 = 480 M = 2 ⋅ 16 ⋅ 15 = 480 P = 256 + 480 = 736 P = 256 + 480 = 736 P = 256 + 480 = 736
