Сличност троуглова
Понављање градива седмог разреда. Када су два троугла слична.
Задаци
Текст задатака објашњених у видео лекцији:
Пр.1) Странице троугла су $a = 6cm,b = 9cm$ и $c = 12cm$. Одредити странице њему сличног троугла ако је коефицијент сличности $k = 1,5$.
Пр.2) Странице троугла су $a = 12cm,b = 15cm$ и $c = 18cm$. Одредити странице њему сличног троугла чији је обим 60cm.
Пр.3) Хипотенуза правоуглог троугла је 15cm, а једна катета је 12cm. Одредити обим и површину њему сличног троугла чија је најкраћа страница 6cm.
Пр.4) Основице трапеза су $a = 18cm,b = 16cm$, а висина је $h = 12cm$. Одредити висину већег троугла коjи се добиjа продужавањем кракова тог трапеза.
Пр.1) Знамо да су ова два троугла слични, онда
\[\frac{a}{{{a_1}}} = \frac{b}{{{b_1}}} = \frac{c}{{{c_1}}} = k\]
\[\begin{gathered}
\frac{a}{{{a_1}}} = k \hfill \\
\frac{6}{{{a_1}}} = 1,5 \hfill \\
{a_1} = \frac{6}{{1,5}} \hfill \\
{a_1} = 4cm \hfill \\
\end{gathered} \]
\[\begin{gathered}
\frac{b}{{{b_1}}} = k \hfill \\
\frac{9}{{{b_1}}} = 1,5 \hfill \\
{b_1} = \frac{9}{{1,5}} \hfill \\
{b_1} = 6cm \hfill \\
\end{gathered} \]
\[\begin{gathered}
\frac{c}{{{c_1}}} = k \hfill \\
\frac{{12}}{{{c_1}}} = 1,5 \hfill \\
{c_1} = \frac{{12}}{{1,5}} \hfill \\
{c_1} = 8cm \hfill \\
\end{gathered} \]
Пр.2) Тражимо странице ${a_1},{b_1},{c_1}$ сличног троугла чији је обим ${O_1} = 60cm$. Да би ми могли искористити jеднакост
\[\frac{a}{{{a_1}}} = \frac{b}{{{b_1}}} = \frac{c}{{{c_1}}} = \frac{O}{{{O_1}}} = k\]
потребно израчунати обим $O$.
\[O = a + b + c = 12 + 15 + 18 = 45cm\]
\[\begin{gathered}
a:{a_1} = O:{O_1} \hfill \\
12:{a_1} = 45:60 \hfill \\
45{a_1} = 12 \cdot 60 \hfill \\
{a_1} = \frac{{12 \cdot 60}}{{45}} \hfill \\
{a_1} = 16cm \hfill \\
\end{gathered} \]
\[\begin{gathered}
b:{b_1} = O:{O_1} \hfill \\
15:{b_1} = 45:60 \hfill \\
45{b_1} = 15 \cdot 60 \hfill \\
{b_1} = \frac{{15 \cdot 60}}{{45}} \hfill \\
{b_1} = 20cm \hfill \\
\end{gathered} \]
\[\begin{gathered}
{O_1} = {a_1} + {b_1} + {c_1} \hfill \\
60 = 16 + 20 + {c_1} \hfill \\
{c_1} = 60 - 36 \hfill \\
{c_1} = 24cm \hfill \\
\end{gathered} \]
Пр.3) Означимо хипотенузу правоуглог троугла са $c = 15cm$, а једну катету са $a = 12cm$. Потребно одредити обим и површину њему сличног троугла чија је најкраћа страница 6cm.
Израчунаћемо катету $b$
\[\begin{gathered}
{b^2} = {c^2} - {a^2} \hfill \\
b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} \hfill \\
b = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} \hfill \\
b = \sqrt {225 - 144} \hfill \\
b = 9cm \hfill \\
\end{gathered} \]
Најкраћа страница овог троугла jе страница $b$. Онда одговараjућа страница њему сличног троугла је страница $b_1 = 6cm$. Одредимо другу катету $a_1$ и хипотенузу $h_1$ сличног троугла.
\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
a:{a_1} = b:{b_1} \hfill \\
12:{a_1} = 9:6 \hfill \\
9{a_1} = 12 \cdot 6 \hfill \\
{a_1} = \frac{{12 \cdot 6}}{9} \hfill \\
{a_1} = 8cm \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
a:{a_1} = c:{c_1} \hfill \\
12:8 = 15:{c_1} \hfill \\
12{c_1} = 15 \cdot 8 \hfill \\
{c_1} = \frac{{15 \cdot 8}}{{12}} \hfill \\
{c_1} = 10cm \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]
Треба нам обим $О_1$ и површина $P_1$.
\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
{O_1} = {a_1} + {b_1} + {c_1} \hfill \\
{O_1} = 8 + 6 + 10 \hfill \\
{O_1} = 24cm \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
{P_1} = \frac{{{a_1} \cdot {b_1}}}{2} \hfill \\
{P_1} = \frac{{6 \cdot 8}}{2} \hfill \\
{P_1} = 24cm \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]
Пр.4) Повуцимо из тачке $D$ паралелно са краком $BC$ дуж $DF$ кој ће ићи на оновицу до 18cm.
Добили смо $FBCD$ паралелограм, онда $FB=CD=16cm$.
Можемо израчунати дужину дуже $AF=18-16=2cm$.
Троуглове $\vartriangle ABC \sim \vartriangle AFD$ су сличне. Онда одговараjуће странице и висине пропорционалне.
\[\begin{gathered}
AB:AF = {h_1}:h \hfill \\
18:2 = {h_1}:12 \hfill \\
2 \cdot {h_1} = 18 \cdot 12 \hfill \\
{h_1} = \frac{{18 \cdot 12}}{2} \hfill \\
{h_1} = 108cm \hfill \\
\end{gathered} \]