Осми разред основне школе

Сличност троуглова

Талесова теорема 1

Талесова теорема 2

Примена сличности на правоугли троугао

Сличност троуглова – понављање

Међусобни положај тачке и праве, тачке и равни, одређеност праве

Међусобни положај две праве у простору

Одређеност равни, међусобни положај праве и равни

Пребројавање геометријских елемената

Растојање тачке од равни, међусоби положај две равни, диедар

Диедар

Ортогонална пројекција

Ортогонална пројекција – задаци

Сличност троуглова, тачка, права, раван – понављање градива

Једнакост, једначина, решење једначине

Својства линеарних једначина са једном непознатом

Решавање линеарних једначина са једном непознатом 1

Решавање линеарних једначина са једном непознатом 2

Решавање линеарних једначина са једном непознатом 3

Решавање линеарних једначина са једном непознатом 4

Решавање линеарних једначина са једном непознатом 5

Примена линеарних једначина са једном непознатом – први део

Примена линеарних једначина са једном непознатом – други део

Линеарне једначине са једном непознатом – понављање градива

Призма, појам, елементи, врсте

Пресеци призме, мрежа призме

Површина призме

Површина четворостране призме

Површина тростране призме

Површина шестостране призме

Површина призме – понављање градива

Запремина призме

Запремина четворостране призме

Запремина тростране призме

Запремина шестостране призме

Запремина призме – понављање градива

Површина и запремина призме

Површина и запремина призме – примена

Неједнакост, неједначине, решење линеарне неједначине

Линеарна неједначина са једном непознатом

Решавање линеарних неједначина са једном непознатом 1

Решавање линеарних неједначина са једном непознатом 2

Решавање линеарних неједначина са једном непознатом 3

Решавање линеарних неједначина са једном непознатом 4

Решавање линеарних неједначина са једном непознатом 5

Пирамида – појам, врсте, елементи

Пирамида – пресеци мрежа

Површина пирамиде

Површина четворостране пирамиде

Сличност троуглова, тачка, права, раван – понављање градива

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Дат је квадар $ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ . Одредити међусобне положаје:

а) $p\left( {A,D} \right)$ и $p\left( {{C_1},{B_1}} \right)$

б) $p\left( {A,B} \right)$ и $p\left( {{C_1},C} \right)$

в) $p\left( {C,{C_1}} \right)$ и $r\left( {A,C,D} \right)$

г) $r\left( {{A_1},D,{D_1}} \right)$ и $r\left( {B,C,{B_1}} \right)$

д) $p\left( {C,A} \right)$ и $r\left( {{A_1},{C_1},{D_1}} \right)$

ђ) $r\left( {C,D,{D_1}} \right)$ и $r\left( {B,A,{B_1}} \right)$

е) $p\left( {C,A} \right)$ и $r\left( {A,{C_1},D} \right)$

Пр.2) Колико је равни одређено са шест правих које садрже исту тачку, а нијоје три не леже у истој равни? Нацртати слику и написати које су то три равни.

Пр.3) На страни диедра чији је угао ${45^ \circ }$ дата је тачка $B$ , која је од ивице диедра удаљена 8cm. Колико је тачка $B$ удаљена од друге стране диедра?

Пр.4) Дужина дужи $AB$ је 26cm. Ако је растојање тачке $A$ од равни $\alpha$ 31cm, a растојање тачке $B$ од равни $\alpha$ је 7cm, одредити дужину ортогоналне пројекције дужи $AB$ на раван $\alpha$ , ако се тачке $A$ и $B$ налазе са исте стране равни $\alpha$ .

Пр.5) Нека су катете једног троугла 5cm,12cm, а хипотенуза другог троугла 17 и једна катета 15cm, проверити да ли су та два троугла слична.

Пр.6) Нека су праве $SL$ и $HU$ паралелне као на слици. Израчунати дужину $PS$ , ако је: $LU = 12cm$ , $SH = 15cm$ и $PU = 2dm$ .

Пр.1) Дат је квадар $ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$

Пр.2) Потребно је израчунати колико равни је одређено са шест правих које садрже исту тачку. Знамо да три праве не леже у истој равни можемо користити формулу

$\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = \frac{{6\left( {6 - 1} \right)}}{2} = \frac{{6 \cdot 5}}{2} = 15 раван$

Пр.3) Направимо слику.

На слици видимо да смо добили правоугли, jеднакокраки троугао, допунимо оваj троугао до квадрата са диjагоналом $d = 8cm$ и израчунамо страницу квадрата:

$\begin{gathered} d = x\sqrt 2 \hfill \\ 8 = x\sqrt 2 \hfill \\ x = \frac{8}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ x = 4\sqrt 2 cm \hfill \\ \end{gathered}$

Пр.4) Направимо слику.

Из тачке $B$ паралелно равни $\alpha$ повлачимо нову дуж. Добили смо правоугаоник са страницама $7cm$ и $x$ и правоугли троугао, његове катете су $x$ и $31 - 7 = 24cm$ , а хипотинуза $AB$ је 26cm.

Израчунаћемо $x$ .

$\begin{gathered} {x^2} = {26^2} - {24^2} \hfill \\ {x^2} = 676 - 576 \hfill \\ {x^2} = 100 \hfill \\ x = 10cm \hfill \\ \end{gathered}$

Пр.5) Нека су катете једног троугла $a=5cm$ , $b=12cm$ , израчунаћемо његову хипотенузу:

$\begin{gathered} {c^2} = {a^2} + {b^2} \hfill \\ {c^2} = {5^2} + {12^2} \hfill \\ {c^2} = 25 + 144 \hfill \\ {c^2} = 169 \hfill \\ c = 13cm \hfill \\ \end{gathered}$

Нека су хипотенуза другог троугла $с_1=17cm$ и једна катета $b_1=15cm$ , израчунаћемо његову другу катету $a_1$ :

$\begin{gathered} {a^2}_1 = {c^2}_1 - {b^2}_1 \hfill \\ {a^2}_1 = {17^2} - {15^2} \hfill \\ {a^2}_1 = 289 - 125 \hfill \\ {a^2}_1 = 64 \hfill \\ {a_1} = \sqrt {64} \hfill \\ {a_1} = 8cm \hfill \\ \end{gathered}$

Проверићимо да ли су одговараjуће странице пропорционалне.

$\begin{gathered} \frac{a}{{{a_1}}} = \frac{b}{{{b_1}}} = \frac{c}{{{c_1}}} \hfill \\ \frac{5}{8} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{{13}}{{17}} \hfill \\ \end{gathered}$

Проверићемо прву пропорцију

$\begin{gathered} 5:8 = 12:15 \hfill \\ 5 \cdot 15 = 8 \cdot 12 \hfill \\ 75 \ne 96 \hfill \\ \end{gathered}$

Троуглови нису слични.

Пр.6)

$\begin{gathered} PS:PL = SH:LU \hfill \\ PS:8 = 15:12 \hfill \\ 12 \cdot PS = 8 \cdot 15 \hfill \\ PS = \frac{{8 \cdot 15}}{{12}} \hfill \\ PS = 10cm \hfill \\ \end{gathered}$