Међусобни положај тачке и праве, тачке и равни, одређеност праве

Међусобни положај тачке и праве, тачке и равни, одређеност праве. Дефиниције и решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Колико правих је одређено са:

а) 4 тачке б) 5 тачака

ако међу њима не постоје три колинеарне?

Пр.2) Колико је правих одређено са 15 тачака ако међу њима не постоје три колинеарне?

Пр.1) а) Имамо 4 тачке и међу њима не постоје три колинеарне, онда морамо да распоредимо ове тачке тако:

Повежимо ове тачке и избројмо добијене праве. Одређено је 6 правих.

б) а) Имамо 5 тачака и међу њима не постоје три колинеарне, онда морамо да распоредимо ове тачке тако:

Прво урадимо оваj задатак као и предходни. Повежимо ове тачке и избројмо добијене праве. Добијено је 10 правих.

Урадимо оваj задатак на други начин.

Тачка $A$ са преостале четири тачке образуjе 4 праве. Тачка $B$ такође четири, при чему jе права коjу ова права одређуjе са тачком $A$ већ урачуната у бројање.

Лако закључујемо да свака од датих 5 тачака образује 4 праве са преосталим тачкама и да jе укупан број свих овако образованих правих једнак $\frac{{5 \cdot 4}}{2} = 10$ jер смо сваку праву бројали два пута.

Дакле, $n$ тачака од коjих никоjе три нису колинеарне образуjе $\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}$ правих.

Пр.2) Кад желимо израчунати броj правих одређених са 15 тачака ако међу њима не постоје три колинеарне можемо користити формулу $\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}$ .

$\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = \frac{{15\left( {15 - 1} \right)}}{2} = \frac{{15 \cdot 14}}{2} = 15 \cdot 7 = 105$

Тачка и права могу бити у два положаја: тачка припада правој ( $A \in p$ ) или јој не припада ( $A \notin p$ ). Исто је са тачком и равни: $A \in \alpha$ или $A \notin \alpha$ . Кроз две различите тачке пролази тачно једна права, па кажемо да је права одређена двема тачкама и пишемо $p(A, B)$ . Тачке које леже на истој правој су колинеарне.

Ако је дато $n$ тачака, од којих никоје три нису колинеарне, свака од њих са осталих $n - 1$ тачака одређује по једну праву. Тако се добија $n(n - 1)$ парова, али је свака права бројана двапут, па правих има $\frac{n(n - 1)}{2}$ . Најчешћа грешка је да се заборави дељење са 2.

Број тачака n6

Правих кроз сваку тачку: 5
Укупан број правих: 15

Свака дуж лежи на правој коју одређују њене две крајње тачке. Из сваке тачке полази

n - 1

дужи, а укупан број расте много брже од броја тачака: 4 тачке дају 6 правих, а 8 тачака већ 28.

Пројектанти путева, водовода и рачунарских мрежа овако рачунају колико би директних веза требало између $n$ места. Број веза брзо расте са бројем места, па се велике мреже обично повезују преко чворишта.

Путеви између села

Општина разматра да свака два од 6 села повеже правим путем. Никоја три села нису на истој правој. Колико би путева требало изградити и колико би их полазило из сваког села?

Решење

Свако село повезујемо са 5 осталих, па из сваког села полази 5 путева.
Ако саберемо путеве из свих села, добијамо $6 \cdot 5 = 30$ .
Сваки пут смо тако бројали двапут, једном из сваког села које повезује, па је путева $\frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ .

Одговор: Требало би изградити 15 путева, а из сваког села би полазило 5 путева.

Задатак за вежбу

Колико правих одређује 12 тачака, од којих никоје три нису колинеарне? Колико од тих правих пролази кроз једну изабрану тачку?

Прикажи решење

$\frac{12 \cdot 11}{2} = 66$ правих. Кроз сваку тачку пролази $12 - 1 = 11$ правих.