Растојање тачке од равни, међусоби положај две равни, диедар

Растојање тачке од равни, међусоби положај две равни, диедар. Дефиниције и једноставни примери.

Растојање тачке $A$ од равни $\alpha$ је дужина дужи $AA'$ , где је $A'$ подножје нормале из $A$ на раван. Свака друга дуж од $A$ до равни је коса и дужа је од нормале, јер је хипотенуза правоуглог троугла чија је катета $AA'$ . Две равни могу да се поклапају, да се секу по правој или да буду паралелне. Све тачке једне од две паралелне равни једнако су удаљене од друге, и то је растојање између равни.

Две полуравни са заједничком граничном правом чине диедар, а та права је његова ивица. Угао диедра мери се у равни нормалној на ивицу. Честа грешка је да се растојање мери косом дужи уместо нормалом.

Висина стуба12 m

Сидро затеге од подножја5 m

Растојање врха од тла VS: 12 m
Дужина затеге VA: 13 m

Дуж

VS

је нормала на раван тла, па је њена дужина растојање врха од тла. Затега

VA

је коса дуж и увек је дужа од нормале. Што је сидро

A

даље од стуба, то је затега дужа.

Монтери антена, стубова и шатора висину мере по нормали на тло, а дужину косих затега рачунају као хипотенузу. Нагиб крова је угао диедра између равни крова и хоризонталне равни.

Затеге стуба за заставу

Стуб за заставу висок 12 m стоји усправно на равном тлу. Учвршћен је са три затеге, а свака је на тлу причвршћена 5 m од подножја стуба. Колико је врх стуба удаљен од тла и колико сајле треба за све три затеге?

Решење

Стуб је нормалан на тло, па је његово подножје $S$ подножје нормале из врха $V$ . Растојање врха од тла је $VS = 12$ m.
Затега $VA$ је коса дуж: троугао $VSA$ има прав угао код $S$ , а катете су $VS = 12$ m и $SA = 5$ m.
По Питагориној теореми $VA^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$ , па је $VA = 13$ m.
За три затеге треба $3 \cdot 13 = 39$ m сајле.

Одговор: Врх стуба је 12 m изнад тла, а за три затеге треба 39 m сајле.

Задатак за вежбу

Тачка $M$ је од равни $\alpha$ удаљена 8 cm. Коса дуж $MA$ , где је тачка $A$ у равни $\alpha$ , дуга је 17 cm. Колико је тачка $A$ удаљена од подножја нормале $M'$ ?

Прикажи решење

Троугао $MM'A$ је правоугли, па је $M'A^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$ и $M'A = 15$ cm.