Геометрија – подударност троуглова 1

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1   Докажи да су два троугла подударни ако су подударне

           по две странице и тежишне дужи које одговарају једној

           од њих.

Пр.2   Докажи да су два троугла подударни ако су подударне

           по две странице и висина на трећу страницу.

Пр.1 

Потребно jе показати да су два троугла $\vartriangle ABC$ и$\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ подударни. Имамо да je $c = {c_1},$ $D$ - средиште $c$, ${D_1}$ -средиште ${c_1}.$ 

Онда

$AD = {A_1}{D_1} = DB = {D_1}{B_1} = \frac{c}{2}$

За троуглове $\vartriangle ADC$ и $\vartriangle {A_1}{D_1}{C_1}$ знамо

\[b = {b_1},{t_c} = {t_{c_1}},\frac{c}{2} = \frac{{{c_1}}}{2}\]

Из тога закључуjемо да су троуглови $\vartriangle ADC$ и $\vartriangle {A_1}{D_1}{C_1}$ подударни (ССС), онда $ \angle \alpha  = \angle {\alpha _1}$

За $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ имамо 

\[b = {b_1},c = {c_1},\angle \alpha  = \angle {\alpha _1}\]

Из тога закључуjемо да су троуглови $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ подударни (СУС).

Пр.2

Потребно je показати да су два троугла $\vartriangle ABC$ и$\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ подударни. $CD$ и ${C_1}{D_1}$ су висине $\vartriangle ABC$ и$\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}.$

За троуголве $\vartriangle ADC$ и $\vartriangle {A_1}{D_1}{C_1}$ знамо

\[b = {b_1},{h_c} = {h_{c_1}},\angle CDA = \angle C_1D_1A_1=90^\circ\]

Из тога закључуjемо да су троуглови $\vartriangle ADC$ и $\vartriangle {A_1}{D_1}{C_1}$ подударни, онда $ \angle \alpha  = \angle {\alpha _1},$ $AD = {A_1}{D_1}$

За троуголове $\vartriangle BCD$ и $\vartriangle {B_1}{C_1}{D_1}$ знамо

\[a = {a_1},{h_c} = {h_{c_1}},\angle CDB = \angle C_1D_1B_1=90^\circ\]

Из тога закључуjемо да су троуглови $\vartriangle BCD$ и $\vartriangle {B_1}{C_1}{D_1}$ подударни, онда $ \angle \beta  = \angle {\beta _1},$ $DB = {D_1}{B_1}.$

Даље можемо да запишемо

$AD+DB = {A_1}{D_1}+{D_1}{B_1}$ или  $с =с_1.$

За $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ имамо 

\[а = {а_1},b = {b_1},c = {c_1}\]

Из тога закључуjемо да су троуглови $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ подударни (ССС).