Апсолутна вредност – пример 3

Пример једначине са две апсолутне вредности.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.3 Решити једначину: $\left| {x + 1} \right| - \left| {3 - x} \right| = 4$

$\begin{aligned}&\left| {x + 1} \right| = \left\{ \begin{aligned}&x + 1, \text{ ако је }x + 1 \geqslant 0;x \geqslant - 1 \\ &- \left( {x + 1} \right),\text{ ако је } x + 1 < 0;x < - 1\end{aligned} \right. \\ &\left| {3 - x} \right| = \left\{ \begin{aligned}&3 - x,\text{ ако је }3 - x \geqslant 0; - x \geqslant - 3;x \leqslant 3 \\ &- \left( {3 - x} \right),\text{ ако је }3 - x < 0; - x < - 3;x > 3\end{aligned} \right.\end{aligned}$

114

Коначно решење: $x \geqslant 3$

Једначину са више апсолутних вредности, као $|x + 1| - |3 - x| = 4$ , решавате по интервалима. Прво нађите нуле израза под апсолутним вредностима, овде $x = -1$ и $x = 3$ . Оне деле бројевну праву на интервале $x < -1$ , $-1 \le x \le 3$ и $x > 3$ . На сваком интервалу сваки израз има сталан знак, па апсолутне вредности уклоните по дефиницији и решите обичну једначину.

Решење прихватите само ако припада интервалу на ком сте рачунали. Ако се добије нетачна једнакост, на интервалу нема решења, а ако се добије тачна, као $4 = 4$ , решење је цео интервал. Коначно решење је унија решења са свих интервала. Табела знакова по интервалима помаже да се не погреши.

Положај куће x5 km

До амбуланте |x − 3|: 2 km
До поште |x − 9|: 4 km
Збир: 6 km

Између амбуланте и поште збир растојања је увек 6 km, па ту нема решења. Права

y = 8

сече график у

x = 2

и

x = 10

: то су решења из примера.

Збир апсолутних вредности описује укупан пут до више места на истој улици или путу, па се тако бира место за продавницу, станицу или магацин. Исти поступак по интервалима користи се и у обрачунима са праговима, као код тарифа.

Кућа поред пута

Дуж регионалног пута, мерено од раскрснице, амбуланта је на 3. километру, а пошта на 9. километру. Породица тражи кућу поред тог пута, такву да збир растојања од куће до амбуланте и до поште буде 8 km. На ком километру $x$ може бити кућа?

Решење

Збир растојања је $|x - 3| + |x - 9|$ , па решавамо $|x - 3| + |x - 9| = 8$ . Нуле 3 и 9 деле праву на три интервала.
За $x < 3$ : $(3 - x) + (9 - x) = 8$ , тј. $12 - 2x = 8$ , па је $x = 2$ , што припада интервалу.
За $3 \le x \le 9$ : $(x - 3) + (9 - x) = 6$ , а $6 \ne 8$ , па на овом интервалу нема решења.
За $x > 9$ : $(x - 3) + (x - 9) = 8$ , тј. $2x - 12 = 8$ , па је $x = 10$ , што припада интервалу.

Одговор: Кућа може бити на 2. или на 10. километру.

Задатак за вежбу

Решите једначину $|x - 1| - |x + 2| = 3$ .

Прикажи решење

Нуле су $-2$ и 1. За $x < -2$ : $(1 - x) + (x + 2) = 3$ , тј. $3 = 3$ , па важи цео интервал. За $-2 \le x \le 1$ : $(1 - x) - (x + 2) = 3$ даје $x = -2$ . За $x > 1$ : $(x - 1) - (x + 2) = -3 \ne 3$ . Решење је $x \le -2$ .