Функције – пример 2

Композиција пресликавања – сложенији пример

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.2) Дате су функције:

$f\left( x \right) = 3x - 3$

$g\left( x \right) = 5x - 7$

Одреди композицију функције:

$f \circ g = ?g \circ f = ?f \circ f = ?g \circ g = ?$

Пр.2

Премa дефинициjи композициje функциjа

$\begin{aligned}&\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( {5x + 7} \right) = \\ &= 3\left( {5x + 7} \right) - 2 = 15x + 21 - 2 = 15x + 19 \\ &\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( {3x - 2} \right) = \\ &= 5\left( {3x - 2} \right) + 7 = 15x - 10 + 7 = 15x - 3 \\ &\left( {f \circ f} \right)\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( {3x - 2} \right) = \\ &= 3\left( {3x - 2} \right) - 2 = 9x - 6 - 2 = 9x - 8 \\ &\left( {g \circ g} \right)\left( x \right) = g\left( {g\left( x \right)} \right) = g\left( {5x + 7} \right) = \\ &= 5\left( {5x + 7} \right) + 7 = 25x + 35 + 7 = 25x + 42\end{aligned}$

Композиција реалних функција рачуна се заменом: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ , па се у пропис функције $f$ уместо $x$ упише цео израз $g(x)$ , у заградама. За $f(x) = 3x - 2$ и $g(x) = 5x + 7$ добија се $(f \circ g)(x) = 3(5x + 7) - 2 = 15x + 19$ , а $(g \circ f)(x) = 5(3x - 2) + 7 = 15x - 3$ . На исти начин је $(f \circ f)(x) = 9x - 8$ . Резултат проверите на једном броју: $g(0) = 7$ и $f(7) = 19$ , што се слаже са $15 \cdot 0 + 19$ .

Код линеарних функција $f(x) = ax + b$ и $g(x) = cx + d$ обе композиције имају исти коефицијент $ac$ , али различите слободне чланове: $ad + b$ и $cb + d$ . Зато је у општем случају $f \circ g \neq g \circ f$ . Честе грешке су множење $f(x) \cdot g(x)$ уместо замене и изостављене заграде, па се добије $3 \cdot 5x + 7 - 2$ .

a у f(x) = ax + b2

b у f(x) = ax + b3

c у g(x) = cx + d0,5

d у g(x) = cx + d−1

Коефицијент a·c: 1
(f∘g)(0) = a·d + b: 1
(g∘f)(0) = c·b + d: 0,5

Праве

f \circ g

и

g \circ f

увек су паралелне, јер имају исти коефицијент

ac

. Поклапају се само кад је

ad + b = cb + d

: пробајте

b = 0

и

d = 0

.

Продавнице и банке рачунају износе у више корака (попуст, порез, провизија), а сваки корак је функција. Низ таквих корака је композиција функција, а од њиховог редоследа зависи коначни износ.

Попуст и достава

Интернет продавница из Београда даје попуст од 20%, а достава кошта 400 дин. Ако је $x$ цена робе у динарима, попуст је функција $g(x) = 0{,}8x$ , а додавање доставе функција $f(x) = x + 400$ . Одредите $f \circ g$ и $g \circ f$ , објасните шта значе и израчунајте износ за робу од 6000 дин. на оба начина.

Решење

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(0{,}8x) = 0{,}8x + 400$ : прво попуст на робу, па достава.
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 400) = 0{,}8(x + 400) = 0{,}8x + 320$ : попуст и на доставу.
За $x = 6000$ је $(f \circ g)(6000) = 4800 + 400 = 5200$ , а $(g \circ f)(6000) = 0{,}8 \cdot 6400 = 5120$ .
Обе функције имају исти коефицијент $0{,}8$ , а слободни чланови се разликују за $400 - 320 = 80$ .

Одговор: Ако попуст важи само за робу, плаћа се 5200 дин., а ако важи и за доставу, 5120 дин., па $f \circ g \neq g \circ f$ .

Задатак за вежбу

За $f(x) = 2x + 1$ и $g(x) = 4x - 3$ одредите $f \circ g$ , $g \circ f$ , $f \circ f$ и $g \circ g$ .

Прикажи решење

$(f \circ g)(x) = 2(4x - 3) + 1 = 8x - 5$ , $(g \circ f)(x) = 4(2x + 1) - 3 = 8x + 1$ , $(f \circ f)(x) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3$ и $(g \circ g)(x) = 4(4x - 3) - 3 = 16x - 15$ .