Тригонометријске функције оштрог угла – примери 1

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1   Дијагонале ромба износе $16cm$ и $20cm$. Одреди вредности

          свих триегонометријских функција углова које образује страница

          ромба са његовим дијагоналама.

Пр.2   Катета правоуглог троугла је $a = 16cm$, а $\sin \alpha = \frac{1}{2}$.

          Одреди странице овог троугла као и тригонометријске вредности

          угла $\beta$.

Пр.1

Углови које образује страница $a$ ромба са његовим дијагоналама $d_1$ и $d_2$ означимо са $\alpha$ и $\beta.$

$$\begin{aligned}&{\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} = {a^2} \\ &{8^2} + {6^2} = {a^2} \\ &64 + 36 = {a^2} \\ &{a^2} = 100 \\ &a = 10cm\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&\sin \alpha = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5} \\ &\cos \alpha = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5} \\ &tg\alpha = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \\ &ctg\alpha = \frac{4}{3}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&\sin \beta = \cos \alpha = \frac{4}{5} \\ &\cos \beta = \sin \alpha = \frac{3}{5} \\ &tg\beta = ctg\alpha = \frac{4}{3} \\ &ctg\beta = tg\alpha = \frac{3}{4}\end{aligned}$$

Пр.2

Имамо $a = 16cm$, а $\sin \alpha = \frac{1}{2}$, и знамо да jе $\sin \alpha = \frac{a}{c}$. Онда

$$\frac{1}{2} = \frac{{16}}{c} \Rightarrow c = 2 \cdot 16 \Rightarrow c = 32cm$$

$${b^2} = {c^2} - {a^2} \Rightarrow {b^2} = 1024 - 256 \Rightarrow b = 16\sqrt 3 cm$$

$$\begin{aligned}&\sin \beta = \frac{b}{c} = \frac{{16\sqrt 3 }}{{32}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\ &\cos \beta = \frac{a}{c} = \frac{{16}}{{32}} = \frac{1}{2} \\ &tg\beta = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = \sqrt 3 \\ &ctg\beta = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\ &\beta = {60^ \circ }\end{aligned}$$