Почетна Видео лекције Први разред средње школе Тригонометријски идентитети – примери Тригонометријски идентитети – примери Једноставни примери примене основних тригонометријских идентитета.
Задаци Текст задатака објашњених у видео лекцији.
Пр.7 Упростити израз ( 1 + sin α ) ( t g α + c t g α ) ( 1 − sin α ) \left( {1 + \sin \alpha } \right)\left( {tg\alpha + ctg\alpha } \right)\left( {1 - \sin \alpha } \right) ( 1 + sin α ) ( t g α + c t g α ) ( 1 − sin α )
Пр.8 Доказати идентитете: 1 − 2 cos 2 α sin α cos α = t g α − c t g α \frac{{1 -2 {{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }} = tg\alpha - ctg\alpha s i n α c o s α 1 − 2 c o s 2 α = t g α − c t g α
sin 2 x sin x − cos x + sin x + cos x 1 − t g 2 x = sin x + cos x \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\sin x - \cos x}} + \frac{{\sin x + \cos x}}{{1 - t{g^2}x}} = \sin x + \cos x s i n x − c o s x s i n 2 x + 1 − t g 2 x s i n x + c o s x = sin x + cos x
Пр.7
( 1 + sin α ) ( t g α + c t g α ) ( 1 − sin α ) = ( 1 − sin 2 α ) ( sin α cos α + cos α sin α ) = = cos 2 α ⋅ sin 2 α + cos 2 α sin α cos α = cos α ⋅ 1 sin α = cos α sin α = c t g α \begin{aligned}&\left( {1 + \sin \alpha } \right)\left( {tg\alpha + ctg\alpha } \right)\left( {1 - \sin \alpha } \right) = \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)\left( {\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right) = \\ &= {\cos ^2}\alpha \cdot \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }} = \cos \alpha \cdot \frac{1}{{\sin \alpha }} = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = ctg\alpha\end{aligned} ( 1 + sin α ) ( t g α + c t g α ) ( 1 − sin α ) = ( 1 − sin 2 α ) ( cos α sin α + sin α cos α ) = = cos 2 α ⋅ sin α cos α sin 2 α + cos 2 α = cos α ⋅ sin α 1 = sin α cos α = c t g α
cos α 1 + sin α + t g α = cos α 1 + sin α + sin α cos α = cos 2 α + sin α ( 1 + sin α ) ( 1 + sin α ) cos α = = cos 2 α + sin α + sin 2 α ( 1 + sin α ) cos α = 1 + sin α ( 1 + sin α ) cos α = 1 cos α \begin{aligned}&\frac{{\cos \alpha }}{{1 + \sin \alpha }} + tg\alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{1 + \sin \alpha }} + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha + \sin \alpha \left( {1 + \sin \alpha } \right)}}{{\left( {1 + \sin \alpha } \right)\cos \alpha }} = \\ &= \frac{{{{\cos }^2}\alpha + \sin \alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{\left( {1 + \sin \alpha } \right)\cos \alpha }} = \frac{{1 + \sin \alpha }}{{\left( {1 + \sin \alpha } \right)\cos \alpha }} = \frac{1}{{\cos \alpha }}\end{aligned} 1 + sin α cos α + t g α = 1 + sin α cos α + cos α sin α = ( 1 + sin α ) cos α cos 2 α + sin α ( 1 + sin α ) = = ( 1 + sin α ) cos α cos 2 α + sin α + sin 2 α = ( 1 + sin α ) cos α 1 + sin α = cos α 1
Пр.8
1 − 2 cos 2 α sin α cos α = t g α − c t g α 1 − 2 cos 2 α sin α cos α = sin α cos α − cos α sin α 1 − 2 cos 2 α sin α cos α = sin 2 α − cos 2 α sin α cos α 1 − 2 cos 2 α sin α cos α = 1 − cos 2 α − cos 2 α sin α cos α 1 − 2 cos 2 α sin α cos α = 1 − 2 cos 2 α sin α cos α \begin{aligned}&\frac{{1 - 2{{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }} = tg\alpha - ctg\alpha \\ &\frac{{1 - 2{{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \\ &\frac{{1 - 2{{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }} \\ &\frac{{1 - 2{{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }} = \frac{{1 - {{\cos }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }} \\ &\frac{{1 - 2{{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }} = \frac{{1 - 2{{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }}\end{aligned} sin α cos α 1 − 2 cos 2 α = t g α − c t g α sin α cos α 1 − 2 cos 2 α = cos α sin α − sin α cos α sin α cos α 1 − 2 cos 2 α = sin α cos α sin 2 α − cos 2 α sin α cos α 1 − 2 cos 2 α = sin α cos α 1 − cos 2 α − cos 2 α sin α cos α 1 − 2 cos 2 α = sin α cos α 1 − 2 cos 2 α
sin 2 x sin x − cos x + sin x + cos x 1 − t g 2 x = sin x + cos x sin 2 x sin x − cos x + sin x + cos x 1 − ( sinx cosx ) 2 = = sin 2 x sin x − cos x + sin x + cos x cos 2 x − sin 2 x cos 2 x = = sin 2 x sin x − cos x + ( sin x + cos x ) ⋅ cos 2 x cos 2 x − sin 2 x = = sin 2 x sin x − cos x + ( sin x + cos x ) ⋅ cos 2 x ( sin x + cos x ) ⋅ ( cos x − sin x ) = = sin 2 x sin x − cos x − c o s 2 x sin x − cos x = = sin 2 x − c o s 2 x sin x − cos x = ( sin x + cos x ) ⋅ ( sin x − cos x ) sin x − cos x = sin x + cos x \begin{aligned}&\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\sin x - \cos x}} + \frac{{\sin x + \cos x}}{{1 - t{g^2}x}} = \sin x + \cos x \\ &\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\sin x - \cos x}} + \frac{{\sin x + \cos x}}{{1 - {{\left( {\frac{{\operatorname{sinx} }}{{\operatorname{cosx} }}} \right)}^2}}} = \\ &= \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\sin x - \cos x}} + \frac{{\sin x + \cos x}}{{\frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \\ &= \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\sin x - \cos x}} + \frac{{\left( {\sin x + \cos x} \right) \cdot {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} = \\ &= \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\sin x - \cos x}} + \frac{{\left( {\sin x + \cos x} \right) \cdot {{\cos }^2}x}}{{\left( {\sin x + \cos x} \right) \cdot \left( {\cos x - \sin x} \right)}} = \\ &= \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\sin x - \cos x}} - \frac{{co{s^2}x}}{{\sin x - \cos x}} = \\ &= \frac{{{{\sin }^2}x - co{s^2}x}}{{\sin x - \cos x}} = \frac{{\left( {\sin x + \cos x} \right) \cdot \left( {\sin x - \cos x} \right)}}{{\sin x - \cos x}} = \sin x + \cos x\end{aligned} sin x − cos x sin 2 x + 1 − t g 2 x sin x + cos x = sin x + cos x sin x − cos x sin 2 x + 1 − ( cosx sinx ) 2 sin x + cos x = = sin x − cos x sin 2 x + c o s 2 x c o s 2 x − s i n 2 x sin x + cos x = = sin x − cos x sin 2 x + cos 2 x − sin 2 x ( sin x + cos x ) ⋅ cos 2 x = = sin x − cos x sin 2 x + ( sin x + cos x ) ⋅ ( cos x − sin x ) ( sin x + cos x ) ⋅ cos 2 x = = sin x − cos x sin 2 x − sin x − cos x co s 2 x = = sin x − cos x sin 2 x − co s 2 x = sin x − cos x ( sin x + cos x ) ⋅ ( sin x − cos x ) = sin x + cos x
У к р а т к о Тригонометријски идентитет је једнакост која важи за сваки угао за који су обе стране дефинисане. Доказујете га тако што једну страну трансформишете док не добијете другу, или обе стране сведете на исти израз. Пре доказивања идентитет можете проверити за један угао, на пример α = 30 ∘ \alpha = 30^\circ α = 3 0 ∘
Најчешћи кораци: tg α \operatorname{tg}\alpha tg α ctg α \operatorname{ctg}\alpha ctg α sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 1 − sin 2 α = cos 2 α 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha 1 − sin 2 α = cos 2 α 1 − cos 2 α = sin 2 α 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha 1 − cos 2 α = sin 2 α ( 1 − sin α ) ( 1 + sin α ) = cos 2 α (1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) = \cos^2\alpha ( 1 − sin α ) ( 1 + sin α ) = cos 2 α tg α + ctg α = 1 sin α cos α \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} tg α + ctg α = s i n α c o s α 1 sin 2 x − cos 2 x = ( sin x − cos x ) ( sin x + cos x ) \sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) sin 2 x − cos 2 x = ( sin x − cos x ) ( sin x + cos x ) sin α ≠ 0 \sin\alpha \ne 0 sin α = 0 cos α ≠ 0 \cos\alpha \ne 0 cos α = 0
М е њ а ј т е у г а о α 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1 2 3 4 5 6 7 α (rad) y tg α + ctg α 1/(sin α cos α) Угао α 30°
tg α + ctg α 2,3094
1/(sin α cos α) 2,3094 Плава и зелена крива се потпуно поклапају: то је идентитет tg α + ctg α = 1 sin α cos α \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} tg α + ctg α = s i n α c o s α 1 α = 45 ∘ \alpha = 45^\circ α = 4 5 ∘ sin α cos α = 12 25 \sin\alpha\cos\alpha = \frac{12}{25} sin α cos α = 25 12 25 12 ≈ 2,08 \frac{25}{12} \approx 2{,}08 12 25 ≈ 2 , 08 П р и м е р и з ж и в о т а Идентитети служе за упрошћавање формула: у физици, геодезији и рачунарској графици дуг израз са синусима и косинусима замењује се краћим, па се рачуна брже и са мање грешака. Понекад идентитет даје резултат без рачунања самог угла.
Плац без мерења угла Правоугаони плац има обим 62 m, а дијагонала му је дуга 25 m. Ако је α \alpha α 25 cos α 25\cos\alpha 25 cos α 25 sin α 25\sin\alpha 25 sin α α \alpha α
Решење Збир страница је половина обима: 25 cos α + 25 sin α = 31 25\cos\alpha + 25\sin\alpha = 31 25 cos α + 25 sin α = 31 sin α + cos α = 31 25 \sin\alpha + \cos\alpha = \frac{31}{25} sin α + cos α = 25 31 Квадрирамо: sin 2 α + 2 sin α cos α + cos 2 α = 961 625 \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{961}{625} sin 2 α + 2 sin α cos α + cos 2 α = 625 961 sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 2 sin α cos α = 961 625 − 1 = 336 625 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{961}{625} - 1 = \frac{336}{625} 2 sin α cos α = 625 961 − 1 = 625 336 Површина је P = 25 cos α ⋅ 25 sin α = 625 sin α cos α = 625 ⋅ 168 625 = 168 P = 25\cos\alpha \cdot 25\sin\alpha = 625\sin\alpha\cos\alpha = 625 \cdot \frac{168}{625} = 168 P = 25 cos α ⋅ 25 sin α = 625 sin α cos α = 625 ⋅ 625 168 = 168 Провера: странице 24 m и 7 m дају обим 62 m, дијагоналу 576 + 49 = 25 \sqrt{576 + 49} = 25 576 + 49 = 25 Одговор: Површина плаца је 168 m².
Задатак за вежбу Ако је sin α + cos α = 7 5 \sin\alpha + \cos\alpha = \frac{7}{5} sin α + cos α = 5 7 sin α cos α \sin\alpha\cos\alpha sin α cos α tg α + ctg α \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha tg α + ctg α
Прикажи решење Квадрирањем је 1 + 2 sin α cos α = 49 25 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{49}{25} 1 + 2 sin α cos α = 25 49 sin α cos α = 12 25 \sin\alpha\cos\alpha = \frac{12}{25} sin α cos α = 25 12 tg α + ctg α = sin 2 α + cos 2 α sin α cos α = 1 sin α cos α \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} tg α + ctg α = s i n α c o s α s i n 2 α + c o s 2 α = s i n α c o s α 1 25 12 \frac{25}{12} 12 25
