Реални бројеви 3

Дељивост у скупу реалних бројева. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1 Наћи највећи природни број којим треба понможити 5880 да би се

добио: а) квадрат природног броја,

б) куб природног броја.

Пр.2 Доказати да је број ${m^3} - m$ дељив са 6 за сваки цео број $m$ .

Пр.3 Доказати да је кбадрат непарног броја, умањен за 1, дељив са 8.

Пр.1

а)Нека jе x броj коjи треба да се добиjе. Онда његов квадрат садржи као делиоце квадрате своjих простих чиниоца.

$5880 \cdot \_\_ = x^2$

Раставићемо броj 5880 на просте чиниоце:

$5880 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 = {2^3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot {7^2}$

${2^2} \cdot {7^2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left( {2 \cdot 3 \cdot 5} \right) = {\left( {{2^2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} \right)^2}$

Тражени броj jе $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$

б) $5880 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 = {2^3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot {7^2}$

${2^3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot {7^2} \cdot \left( {{3^2} \cdot {5^2} \cdot 7} \right) = {\left( {2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} \right)^3}$

${3^2} \cdot {5^2} \cdot 7 = 9 \cdot 25 \cdot 7 = 1575$

Пр.2

$\begin{aligned}&\left. 6 \right|m \cdot \left( {m - 1} \right) \\ &\left. 6 \right|m \cdot \left( {m - {1^2}} \right) \\ &\left. 6 \right|m \cdot \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) \\ &\left. 6 \right|\left( {m - 1} \right)m \cdot \left( {m + 1} \right)\end{aligned}$

$\left( {m - 1} \right)m \cdot \left( {m + 1} \right)$ - производ три узастопна броjа, а производ три узастопна цела броjа jе дељив са 2 и са 3, то jе и ${m^3} - m$ дељиво са 6.

Пр.3 Ми доказуемо $\left. 8 \right|\left( {2n + 1} \right) - 1$

$\begin{aligned}&\left. 8 \right|\left( {2n + 1} \right) - {1^2} \\ &\left. 8 \right|\left( {2n + 1 - 1} \right)\left( {2n + 1 + 1} \right) \\ &\left. 8 \right|2n\left( {2n + 2} \right) \\ &\left. 8 \right|4n\left( {n + 1} \right)\end{aligned}$

$n\left( {n + 1} \right)$ - производ два узастопна броjа, тада jе дељив са 2. Односно броj $4n\left( {n + 1} \right)$ - дељив са 2 и са 4, односно дељив са 8.

Задаци о дељивости решавају се на неколико сталних начина. Први је растављање на просте чиниоце: број је квадрат природног броја ако су сви изложиоци парни, а куб ако су дељиви са 3. Пошто је $5880 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7^2$ , најмањи множилац који даје квадрат је $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ , а куб $3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 1575$ .

Други је растављање израза на чиниоце: $m^3 - m = (m - 1)m(m + 1)$ је производ три узастопна цела броја, па је дељив са 2 и са 3, а тиме и са 6. Слично је $(2n + 1)^2 - 1 = 4n(n + 1)$ , а $n(n + 1)$ је паран, па је израз дељив са 8. Пазите: из дељивости са 2 и са 3 следи дељивост са 6 јер су 2 и 3 узајамно прости, а из дељивости са 2 и са 4 не следи дељивост са 8.

Број група k3

Вежбача 24k: 72
√(24k): 8,49

Вежбачи су поређани у строј што ближи квадрату. Прави квадрат добија се тек за 6 група, тј. 144 вежбача, јер је тек тада

\sqrt{24k}

природан број: 12 врста по 12.

Шифровање на интернету, на пример при плаћању картицом, ослања се на то да је велике бројеве лако помножити, а веома тешко раставити на просте чиниоце.

Квадратни строј на слету

На школском слету у Ваљеву вежбачи наступају у групама од по 24. Организатор жели да споји неколико целих група тако да сви заједно стану у квадратни строј, са истим бројем врста и колона. Колико најмање група треба да споји и колико ће вежбача бити у свакој врсти?

Решење

Растављамо: $24 = 2^3 \cdot 3$ . Укупан број вежбача $24 \cdot k$ мора бити квадрат природног броја, па сви изложиоци морају бити парни.
Изложилац броја 2 је 3, а броја 3 је 1, па најмањи $k$ доноси још један чинилац 2 и један чинилац 3: $k = 2 \cdot 3 = 6$ .
Тада је $24 \cdot 6 = 144 = 2^4 \cdot 3^2 = (2^2 \cdot 3)^2 = 12^2$ .

Одговор: Треба спојити 6 група, па 144 вежбача стају у 12 врста по 12.

Задатак за вежбу

Којим најмањим природним бројем треба помножити 1350 да би се добио куб природног броја?

Прикажи решење

$1350 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$ . Изложиоци морају бити дељиви са 3, па недостају $2^2$ и $5$ : множилац је $2^2 \cdot 5 = 20$ , а $1350 \cdot 20 = 27\,000 = 30^3$ .