Реални бројеви 1

Скуп природних бројева, скуп целих бројева, скуп рационалних бројева, скуп ирационалних бројева, скуп реалних бројева.

Скупови бројева се шире један у други: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ . Рационалан број може се записати као $\frac{m}{n}$ , где је $m \in \mathbb{Z}$ и $n \in \mathbb{N}$ , а његов децимални запис је коначан или периодичан. Ирационални бројеви, на пример $\sqrt{2}$ и $\pi$ , имају бесконачан непериодичан запис. Заједно са рационалнима чине скуп реалних бројева $\mathbb{R}$ , а сваком реалном броју одговара тачно једна тачка бројевне праве.

Да је $\sqrt{2}$ ирационалан, доказује се супротном претпоставком: из $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ у скраћеном облику следи $m^2 = 2n^2$ , па су и $m$ и $n$ парни, што је немогуће. Пазите: $\sqrt{9} = 3$ је природан број, а $\frac{22}{7}$ је само приближна вредност броја $\pi$ .

Друга страница k1

OP = √(1 + k²): 1,4142
OP²: 2

Шестар преноси дијагоналу

OB

на бројевну праву, у тачку

P

на растојању

\sqrt{1 + k^2}

од нуле. За

k = 1

то је

\sqrt{2} \approx 1{,}4142

: тачка постоји, иако

\sqrt{2}

није количник два цела броја.

Рачунари памте само коначно много децимала, па $\sqrt{2}$ и $\pi$ увек заокружују; инжењери зато процењују колику грешку заокругљивање уноси у прорачун.

Дијагонала квадратног рама

Столар у Суботици прави квадратни рам за слику, странице 50 cm, и мери му дијагоналу да провери да ли су углови прави. Колика треба да буде дијагонала? Да ли се њена тачна дужина може записати као разломак?

Решење

По Питагориној теореми $d^2 = 50^2 + 50^2 = 5000$ , па је $d = \sqrt{5000} = 50\sqrt{2}$ cm.
Претпоставимо да је $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ , где је разломак скраћен. Тада је $m^2 = 2n^2$ , па је $m^2$ паран, а тиме и $m$ : $m = 2k$ .
Из $4k^2 = 2n^2$ следи $n^2 = 2k^2$ , па је и $n$ паран. Онда се разломак може скратити са 2, што је контрадикција: $\sqrt{2}$ је ирационалан.
Кад би $50\sqrt{2} = q$ био рационалан, био би рационалан и $\sqrt{2} = \frac{q}{50}$ . Дакле, $d$ је ирационалан, а на метру се чита приближна вредност $d \approx 70{,}71$ cm.

Одговор: Дијагонала је $50\sqrt{2} \approx 70{,}7$ cm; то је ирационалан број, па се њена тачна дужина не може записати као разломак.

Задатак за вежбу

Распоредите бројеве $-5$ , $\frac{3}{4}$ , $0{,}\overline{6}$ , $\sqrt{9}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$ и $1{,}010010001\ldots$ (после сваке јединице једна нула више) у најмањи од скупова $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{I}$ коме припадају.

Прикажи решење

$\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}$ , $-5 \in \mathbb{Z}$ , $\frac{3}{4} \in \mathbb{Q}$ и $0{,}\overline{6} = \frac{2}{3} \in \mathbb{Q}$ , а $\sqrt{5}$ , $\pi$ и $1{,}010010001\ldots$ су у $\mathbb{I}$ , јер им запис није ни коначан ни периодичан. Сви су реални бројеви.