Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Вектори – примери 1

Вектори, решени задаци, једностави примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1   Ако је тачка ABCDABCD паралелеограм, докажи да је:    BD→=AD→−AB→\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} и AC→=DC→−CB→\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {CB}

Пр.2  Ако је тачка MM средина дужи ABAB И TT произвољна тачка ван те дужи. Докажи да је: TM→=12(TA→+TB→)\overrightarrow {TM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {TA} + \overrightarrow {TB} } \right)

Пр.3   Докажи да је средња линија троугла једнака половини наспрамне странице и паралелна је са њом.

Пр.1

57

BD→=BA→+AD→=−AB→+AD→=AD→−AB→\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB}

AC→=AD→+DC→=BC→+DC→=−CB→+DC→=DC→−CB→\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} = - \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {CB}

Пр.2 

58

TM→=TA→+AM→TM→=TB→+BM→∣+2TM→=TA→+TB→+AM→+BM→AM→+BM→=0→2TM→=TA→+TB→∣÷2TM→=12(TA→+TB→)\begin{aligned}&\left. \begin{aligned}&\overrightarrow {TM} = \overrightarrow {TA} + \overrightarrow {AM} \\ &\overrightarrow {TM} = \overrightarrow {TB} + \overrightarrow {BM}\end{aligned} \right| + \\ &2\overrightarrow {TM} = \overrightarrow {TA} + \overrightarrow {TB} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} \\ &\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow 0 \\ &\left. {2\overrightarrow {TM} = \overrightarrow {TA} + \overrightarrow {TB} } \right| \div 2 \\ &\overrightarrow {TM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {TA} + \overrightarrow {TB} } \right)\end{aligned}

Пр.3

59

MN=12ABMN = \frac{1}{2}AB,   MN∥AB.MN\left\| {AB.} \right.   Оно можемо преписати као MN→=12TB→\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {TB}

MN→=MA→+AB→+BN→MN→=MC→+CN→∣+2MN→=MA→+MC→+AB→+CN→+BN→MA→+MC→=0→CN→+BN→=0→2MN→=AB→∣÷2MN→=12AB→\begin{aligned}&\left. \begin{aligned}&\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} \\ &\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CN}\end{aligned} \right| + \\ &2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {BN} \\ &\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \\ &\overrightarrow {CN} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow 0 \\ &\left. {2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} } \right| \div 2 \\ &\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}\end{aligned}

Векторске једнакости доказујете правилом надовезивања: вектор од AA до CC можете записати као пут преко било које тачке, AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}. Супротни вектори се потиру, AB→+BA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec 0, јер је BA→=−AB→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}.

Кључни резултат је формула за средиште: ако је MM средиште дужи ABAB, онда за сваку тачку TT важи TM→=12(TA→+TB→)\overrightarrow{TM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{TA} + \overrightarrow{TB}). Добија се кад се TM→\overrightarrow{TM} запише на два начина, преко AA и преко BB, и једнакости саберу, јер је AM→+BM→=0⃗\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \vec 0. Истим поступком се доказује да је средња линија троугла паралелна страници и упола краћа од ње. Честа грешка је погрешан смер: AB→=OB→−OA→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}, крај минус почетак.

TABM
|TM|
3,16 km
½ |TA + TB|
3,16 km
|AM| = |MB|
4,12 km
Вектор TM→\overrightarrow{TM} до средишта увек је половина дијагонале паралелограма над TA→\overrightarrow{TA} и TB→\overrightarrow{TB}, ма где била тачка TT. Почетни положаји су станица и куће из примера, један квадратић је 1 km.

Тежиште два тела једнаких маса налази се у средишту дужи која их спаја, па га физичари рачунају управо овом формулом. Исто се ради кад се на мапи тражи место састанка на пола пута.

Састанак на пола пута

Посматрано од аутобуске станице TT, Анина кућа AA је 3 km западно и 4 km северно, а Маркова кућа BB 5 km источно и 2 km северно. Договорили су се да се нађу тачно на пола пута између кућа, у тачки MM. Где је MM у односу на станицу и колико је од ње удаљена ваздушном линијом?

Решење

  1. Нека је i⃗\vec i вектор дужине 1 km ка истоку, а j⃗\vec j вектор дужине 1 km ка северу. Тада је TA→=−3i⃗+4j⃗\overrightarrow{TA} = -3\vec i + 4\vec j и TB→=5i⃗+2j⃗\overrightarrow{TB} = 5\vec i + 2\vec j.
  2. MM је средиште дужи ABAB, па је TM→=12(TA→+TB→)=12(2i⃗+6j⃗)=i⃗+3j⃗\overrightarrow{TM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{TA} + \overrightarrow{TB}) = \frac{1}{2}(2\vec i + 6\vec j) = \vec i + 3\vec j.
  3. Дакле, MM је 1 km источно и 3 km северно од станице. Ти помераји су нормални, па је по Питагориној теореми ∣TM→∣=12+32=10≈3,16|\overrightarrow{TM}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \approx 3{,}16 km.

Одговор: Састанак је 1 km источно и 3 km северно од станице, око 3,16 km ваздушном линијом.

Задатак за вежбу

У троуглу ABCABC тачке MM и NN су средишта страница ACAC и BCBC. Ако је CA→=a⃗\overrightarrow{CA} = \vec a и CB→=b⃗\overrightarrow{CB} = \vec b, изразите AB→\overrightarrow{AB} и MN→\overrightarrow{MN} преко a⃗\vec a и b⃗\vec b. Шта закључујете о дужима MNMN и ABAB?

Прикажи решење

AB→=AC→+CB→=b⃗−a⃗\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \vec b - \vec a, а MN→=MC→+CN→=−12a⃗+12b⃗=12AB→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CN} = -\frac{1}{2}\vec a + \frac{1}{2}\vec b = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. Зато је MN∥ABMN \parallel AB и MN=12ABMN = \frac{1}{2}AB.