Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Геометрија – израчунавање углова троугла 2

Троугао. Израчунавње углова. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3   Одреди све спољашње и све унутрашње углове једнакостраниччног

           троугла, ако је угао између симетрале угла на основици и весине

           на крак из истог темена 20∘20^\circ.

Пр.4   Угао између висина на краке једнакостраничног троугла је 130∘130^\circ.

          Одреди све унутрашње и све спољашње углове троутроугла као и

          ∢(sα,hc)\sphericalangle \left( {{s_\alpha },{h_c}} \right).

Пр.3

38

Нека је jеднакокраки троугао, троугао △ABC\vartriangle ABC, код кога су две странице једнаке и два угла који су на основици у овом троуглу су једнаки. Означимо ове углове са α,\alpha, а трећи угао са γ.\gamma. Означимо тачку пресека симетрале ∠A\angle A и наспрамне  странице са DD, а тачку пресека висине ∠A\angle A и наспрамне  странице са EE.

Погледамо на△AED\vartriangle AED. Унутрашне углове овог троугла су 20∘,{20^ \circ }, 90∘,{90^ \circ }, и φ\varphi

Збир унутрашњих углова троугла је 180°.

20∘+90∘+φ=180∘110∘+φ=180∘φ=70∘\begin{aligned}&{20^ \circ } + {90^ \circ } + \varphi = {180^ \circ } \\ &{110^ \circ } + \varphi = {180^ \circ } \\ &\varphi = {70^ \circ }\end{aligned}

Збир унутрашњих углова троугла △ABD\vartriangle ABD је 180°.

α2+α+φ=180∘\frac{\alpha }{2} + \alpha + \varphi = {180^ \circ }

32α=180∘\frac{3}{2}\alpha = {180^ \circ }

32α=110∘\frac{3}{2}\alpha = {110^ \circ }

α=73∘20′\alpha = {73^ \circ }20'

За троугао △ABC\vartriangle ABC збир углова jе:

α+α+γ=180∘\alpha + \alpha + \gamma = {180^ \circ }

2α+γ=180∘2\alpha + \gamma = {180^ \circ }

146∘40′+γ=180∘{146^ \circ }40' + \gamma = {180^ \circ }

γ=33∘20′\gamma = {33^ \circ }20' 

Означимо са α1{\alpha _1} и са γ1{\gamma _1} спољашње углове троугла △ABC.\vartriangle ABC.

α+α1=180∘\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ }

73∘20′+α1=180∘{73^ \circ }20' + {\alpha _1} = {180^ \circ }

α1=106∘40′{\alpha _1} = {106^ \circ }40'

γ+γ1=180∘\gamma + {\gamma _1} = {180^ \circ }

33∘20′+γ1=180∘{33^ \circ }20' + {\gamma _1} = {180^ \circ }

γ1=146∘40′{\gamma _1} = {146^ \circ }40'

Пр.4

39

Имамо jеднакокраки троугао △ABC\vartriangle ABC код кога су два угла  на основици једнаки. Означимо ове углове са α,\alpha, а трећи угао са γ.\gamma. Означимо тачку пресека висине ∠A\angle A и наспрамне  странице са ММ, а тачку пресека висине ∠В\angle В и наспрамне  странице са NN, тачку пресека висина означимо са HH

Збир унутрашњих углова  □NHMC\square NHMC је 360°.

90∘+130∘+90∘+γ=360∘{90^ \circ } + {130^ \circ } + {90^ \circ } + \gamma = {360^ \circ }

310∘+γ=360∘{310^ \circ } + \gamma = {360^ \circ }

γ=50∘\gamma = {50^ \circ }

За троугао △ABC\vartriangle ABC збир углова jе:

α+α+γ=180∘\alpha + \alpha + \gamma = {180^ \circ }

2α+50∘=180∘2\alpha + {50^ \circ } = {180^ \circ }

2α=130∘2\alpha = {130^ \circ }

α=65∘\alpha = {65^ \circ }

Означимо са α1{\alpha _1} и са γ1{\gamma _1} спољашње углове троугла △ABC.\vartriangle ABC.

α+α1=180∘\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ }

65∘+α1=180∘{65^ \circ } + {\alpha _1} = {180^ \circ }

α1=115∘{\alpha _1} = {115^ \circ }

γ+γ1=180∘\gamma + {\gamma _1} = {180^ \circ }

50∘+γ1=180∘{50^ \circ } + {\gamma _1} = {180^ \circ }

γ1=130∘{\gamma _1} = {130^ \circ }

40

Означимо тачку пресека симетрале ∠A\angle A и висине ∠С\angle С са РР. Знамо да висина∠С\angle С  jеднакокраког троугла △ABC\vartriangle ABC   jесте и симетрала овог угла.

За △ACP\vartriangle ACP важи:

α2+γ2+φ=180∘\frac{\alpha }{2} + \frac{\gamma }{2} + \varphi = {180^ \circ }

32∘30′+25∘+φ=180∘{32^ \circ }30' + {25^ \circ } + \varphi = {180^ \circ }

57∘30′+φ=180∘{57^ \circ }30' + \varphi = {180^ \circ }

φ=122∘30\varphi = {122^ \circ }30

У сложенијим задацима појављују се висине и симетрале углова. Висина гради прав угао, па у правоуглом троуглу који настаје оштри углови дају 90∘90^\circ: висина из AA на BCBC зато са страницом ABAB заклапа угао 90∘−β90^\circ - \beta. Одатле следи да је угао између висине и симетрале из истог темена ∣β−γ∣2\frac{|\beta - \gamma|}{2}. Висине из AA и BB са страницама граде четвороугао са два права угла, па је угао између њих 180∘−γ180^\circ - \gamma.

Код једнакокраког троугла висина на основицу је уједно симетрала угла при врху и тежишна дуж. Пазите да проверите све случајеве: услов „симетрала и висина из истог темена заклапају 20∘20^\circ“ може да испуни и већи и мањи угао на основици.

BCAED
β
70°
γ
40°
∢DAE
15°
|β − γ| : 2
15°
Угао између висине AEAE и симетрале ADAD увек је половина разлике углова β\beta и γ\gamma. Кад су β\beta и γ\gamma једнаки, троугао је једнакокрак, а висина и симетрала се поклапају.

Голмани се постављају на симетралу угла под којим играч са лоптом види гол, а најкраћи пут лопте до гол-линије је висина истог троугла.

Голман и симетрала угла

Играч са лоптом налази се у тачки AA испред гола, а стативе су у тачкама BB и CC. Углови троугла ABCABC код статива су β=70∘\beta = 70^\circ и γ=40∘\gamma = 40^\circ. Голман стаје на симетралу ADAD угла код AA, а најкраћи пут од лопте до гол-линије BCBC је висина AEAE. Колики угао заклапају симетрала и висина?

Решење

  1. Трећи угао је α=180∘−70∘−40∘=70∘\alpha = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ.
  2. У правоуглом троуглу ABEABE је ∡BAE=90∘−β=90∘−70∘=20∘\measuredangle BAE = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ.
  3. Симетрала полови угао код AA: ∡BAD=70∘2=35∘\measuredangle BAD = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ.
  4. Угао између симетрале и висине је ∡DAE=35∘−20∘=15∘\measuredangle DAE = 35^\circ - 20^\circ = 15^\circ, што је исто што и β−γ2=70∘−40∘2\frac{\beta - \gamma}{2} = \frac{70^\circ - 40^\circ}{2}.

Одговор: Симетрала и висина заклапају угао од 15∘15^\circ.

Задатак за вежбу

Висине из темена AA и BB оштроуглог троугла ABCABC секу се у тачки HH, а ∡AHB=115∘\measuredangle AHB = 115^\circ. Ако је α=50∘\alpha = 50^\circ, одредите углове β\beta и γ\gamma.

Прикажи решење

Подножја MM и NN ових висина, тачка HH и теме CC чине четвороугао са правим угловима код MM и NN, а угао код HH је унакрсни са ∡AHB\measuredangle AHB, дакле 115∘115^\circ. Зато је γ=360∘−90∘−90∘−115∘=65∘\gamma = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 115^\circ = 65^\circ и β=180∘−50∘−65∘=65∘\beta = 180^\circ - 50^\circ - 65^\circ = 65^\circ.