Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Вектори

Вектори, дефиниција, особине. Сабирање вектора, множење вектора скаларом.

Вектор је усмерена дуж: има интензитет (дужину), правац и смер. Два вектора су једнака ако имају исти интензитет, правац и смер, па се вектор сме паралелно померати. Нула-вектор 0⃗\vec 0 има дужину 0, а супротан вектор −a⃗-\vec a има исти интензитет и правац као a⃗\vec a, а супротан смер.

Векторе сабирате правилом троугла, AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}, или правилом паралелограма: збир је дијагонала паралелограма над векторима нанетим из исте тачке. Разлика је a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec a - \vec b = \vec a + (-\vec b). Производ ka⃗k\vec a има интензитет ∣k∣⋅∣a⃗∣|k| \cdot |\vec a| и исти смер као a⃗\vec a за k>0k > 0, а супротан за k<0k < 0. Пазите: ∣a⃗+b⃗∣|\vec a + \vec b| најчешће није ∣a⃗∣+∣b⃗∣|\vec a| + |\vec b|.

v₁v₂v₁ + v₂O
|v₁|
2,4 m/s
|v₂|
1 m/s
|v₁ + v₂|
2,6 m/s
|v₁| + |v₂|
3,4 m/s
Збир је дијагонала паралелограма над v⃗1\vec v_1 и v⃗2\vec v_2. Његова дужина једнака је ∣v⃗1∣+∣v⃗2∣|\vec v_1| + |\vec v_2| само кад вектори имају исти правац и смер. Почетни вектори су брзине кајака и реке из примера, у m/s.

Пилоти, наутичари и метеоролози сабирају векторе брзине: стварна брзина авиона или чамца је збир његове сопствене брзине и брзине ветра или струје. Исто тако се у физици и грађевини сабирају силе.

Кајак преко реке

Кајакаш весла нормално на обалу брзином 2,4 m/s у односу на воду, а река тече брзином 1 m/s. Река је широка 120 m. Којом брзином се кајак стварно креће, колико траје прелазак и колико низводно ће кајакаш пристати?

Решење

  1. Стварна брзина је збир вектора v⃗=v⃗1+v⃗2\vec v = \vec v_1 + \vec v_2, где је v⃗1\vec v_1 брзина кајака у односу на воду, а v⃗2\vec v_2 брзина реке (правило паралелограма).
  2. Вектори су нормални, па је ∣v⃗∣=2,42+12=5,76+1=6,76=2,6|\vec v| = \sqrt{2{,}4^2 + 1^2} = \sqrt{5{,}76 + 1} = \sqrt{6{,}76} = 2{,}6 m/s.
  3. Преко реке кајак носи само v⃗1\vec v_1: прелазак траје 120:2,4=50120 : 2{,}4 = 50 s.
  4. За то време вода га однесе 1⋅50=501 \cdot 50 = 50 m низводно. Провера: пређени пут је 2,6⋅50=1302{,}6 \cdot 50 = 130 m, а 1202+502=130\sqrt{120^2 + 50^2} = 130.

Одговор: Кајак се креће брзином 2,6 m/s, реку пређе за 50 s и пристане 50 m низводно.

Задатак за вежбу

Авион лети ка северу брзином 240 km/h у односу на ваздух, а ветар дува ка истоку брзином 70 km/h. Колика је брзина авиона у односу на тло?

Прикажи решење

Вектори брзина су нормални, па је ∣v⃗∣=2402+702=57 600+4900=62 500=250|\vec v| = \sqrt{240^2 + 70^2} = \sqrt{57\,600 + 4900} = \sqrt{62\,500} = 250 km/h.