Геометрија – троугао

Троугао. Особине. Значајне тачке троугла.

Збир унутрашњих углова троугла је $180^\circ$ , а спољашњи угао једнак је збиру два несуседна унутрашња: $\alpha_1 = \beta + \gamma$ . Свака страница мања је од збира, а већа од разлике друге две: $|b - c| < a < b + c$ . Наспрам веће странице лежи већи угао.

Значајне тачке: симетрале страница секу се у центру описане кружнице $O$ , који је једнако удаљен од сва три темена; симетрале углова у центру уписане кружнице $S$ ; тежишне дужи у тежишту $T$ , које их дели у односу $2 : 1$ рачунајући од темена; висине у ортоцентру $H$ . Тачка $O$ је у троуглу само кад је он оштроугли, а код правоуглог троугла је на средини хипотенузе, па је $R = \frac{c}{2}$ . Код једнакостраничног троугла све четири тачке се поклапају.

OA: 5 km
OB: 5 km
OC: 5 km

Центар описане кружнице

O

увек је једнако удаљен од сва три темена. Кад је угао код

C

прав,

O

је на средини хипотенузе; кад је туп,

O

излази из троугла.

Тежиште је тачка у којој троугаона плоча остаје у равнотежи на врху оловке, а центар описане кружнице место подједнако удаљено од три насеља, на пример за заједничку антену или бунар.

Антена за три села

Село $C$ је на раскрсници два пута који се секу под правим углом. На једном путу, 6 km од $C$ , је село $A$ , а на другом, 8 km од $C$ , село $B$ . Где треба поставити антену да буде подједнако удаљена од сва три села и колика је та удаљеност?

Решење

Тачка подједнако удаљена од $A$ , $B$ и $C$ је центар описане кружнице $O$ , пресек симетрала страница троугла $ABC$ .
Троугао $ABC$ је правоугли, са правим углом код $C$ , па је $O$ средиште хипотенузе $AB$ .
По Питагориној теореми $AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ km.
Полупречник описане кружнице је $R = \frac{AB}{2} = 5$ km, па је антена 5 km од сваког села.

Одговор: Антену треба поставити на средину дужи $AB$ , тј. на пола пута ваздушном линијом између села $A$ и $B$ ; тада је 5 km од сва три села.

Задатак за вежбу

Тежишна дуж $t_c$ троугла $ABC$ дуга је 12 cm. Колико је тежиште $T$ удаљено од темена $C$ , а колико од средишта $C_1$ странице $AB$ ?

Прикажи решење

Тежиште дели тежишну дуж у односу $2 : 1$ од темена, па је $CT = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ cm и $TC_1 = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ cm.