Реални бројеви 2

Дељивост у скупу реалних бројева.

Цео број $a \neq 0$ дели цео број $b$ , што се пише $a \mid b$ , ако постоји цео број $k$ такав да је $b = k \cdot a$ . Ако $a \mid b$ и $a \mid c$ , онда $a$ дели и $b + c$ , $b - c$ и сваки производ $b \cdot m$ . При дељењу природним бројем $a$ сваки цео број $b$ може се записати као $b = a \cdot q + r$ , где је $0 \le r < a$ , а $a \mid b$ тачно кад је $r = 0$ .

Производ је паран чим је бар један чинилац паран, а производ два непарна броја је непаран. Од два узастопна цела броја један је паран, па је производ $n(n + 1)$ увек дељив са 2. Међу три узастопна цела броја један је дељив са 3 и бар један је паран, па је $(n - 1)n(n + 1)$ дељив са 6. Честа грешка: из $6 \mid 4 \cdot 9$ не следи ни $6 \mid 4$ ни $6 \mid 9$ .

Број n23

Тачака у врсти b5

Количник q: 4
Остатак r: 3

Број

n

дељив је са

b

кад је последња врста пуна, тј. кад је остатак

r = 0

. Иначе је

n = b \cdot q + r

, где је

0 \le r < b

.

Последња цифра бар-кода на производима је контролна: бира се тако да одређени збир цифара буде дељив са 10, па каса одмах уочи погрешно очитану цифру.

Контролна цифра бар-кода

Бар-код на паковању има 13 цифара. Првих 12 су 8, 6, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а последња је контролна. Она се бира тако да збир цифара на непарним местима, увећан за троструки збир цифара на парним местима, буде дељив са 10 (контролна цифра је на 13. месту, дакле непарном). Одредите контролну цифру и објасните зашто каса открива сваку појединачну погрешно очитану цифру.

Решење

Међу првих 12 цифара на непарним местима су 8, 0, 2, 4, 6, 8, са збиром 28, а на парним 6, 1, 3, 5, 7, 9, са збиром 31.
Збир је $S = 28 + 3 \cdot 31 = 121 = 10 \cdot 12 + 1$ , па је остатак при дељењу са 10 једнак 1.
Контролна цифра $c$ допуњује збир до броја дељивог са 10: $121 + c$ је дељиво са 10 за $c = 9$ , јер је $121 + 9 = 130 = 10 \cdot 13$ .
Ако се једна цифра очита погрешно, она се промени за неко $d$ , где је $1 \le |d| \le 9$ , па се збир промени за $d$ или за $3d$ . Број 10 не дели $d$ , а пошто су 3 и 10 узајамно прости, не дели ни $3d$ , па збир више није дељив са 10.

Одговор: Контролна цифра је 9, а свака појединачна грешка у очитавању мења збир тако да више није дељив са 10, па каса одбија такав код.

Задатак за вежбу

Докажите да је збир три узастопна цела броја увек дељив са 3, а да збир четири узастопна цела броја никад није дељив са 4.

Прикажи решење

$(n - 1) + n + (n + 1) = 3n$ , па је дељив са 3. С друге стране $n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2$ , па при дељењу са 4 увек даје остатак 2.