Тригонометрија – правоугли троугао

Тригонометрија, тригонометријске функције оштрог угла правогуглог троугла. Једноставни примери.

У правоуглом троуглу са катетама $a$ и $b$ и хипотенузом $c$ , за оштар угао $\alpha$ наспрам катете $a$ дефинишемо: $\sin\alpha = \frac{a}{c}$ (наспрамна катета кроз хипотенузу), $\cos\alpha = \frac{b}{c}$ (налегла катета кроз хипотенузу), $\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}$ и $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{b}{a}$ . Ови односи зависе само од угла, а не од величине троугла, јер су сви правоугли троуглови са истим оштрим углом слични.

Синус и косинус оштрог угла су између 0 и 1, јер је хипотенуза најдужа страница. За други оштар угао $\beta$ катете замене улоге, па је $\sin\beta = \cos\alpha$ и $\operatorname{tg}\beta = \operatorname{ctg}\alpha$ . Најчешћа грешка је замена наспрамне и налегле катете: увек их одредите у односу на угао који посматрате.

Катета b (водоравно)4,8 m

Катета a (висина)2 m

sin α = a/c: 0,3846
cos α = b/c: 0,9231
tg α = a/b: 0,4167
ctg α = b/a: 2,4

Повећајте обе катете истим бројем пута: троугао се увећа, али синус, косинус и тангенс остају исти, јер зависе само од угла

\alpha

. Почетне мере су половина крова из примера.

Тесари и кровопокривачи из нагиба крова рачунају дужину рогова, а геодете из измереног угла и једне дужине одређују висине зграда и стубова које не могу директно да измере.

Кров куће

Попречни пресек крова куће је једнакокраки троугао. Кућа је широка 9,6 m, а слеме је 2 m изнад таванице. Колико су дугачки рогови (греде од слемена до ивице крова), ако се стреха занемари? Израчунајте и $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ , $\operatorname{tg}\alpha$ и $\operatorname{ctg}\alpha$ за угао нагиба крова $\alpha$ .

Решење

Висина из слемена дели пресек на два подударна правоугла троугла са катетама $b = 9{,}6 : 2 = 4{,}8$ m (водоравно) и $a = 2$ m (висина).
Рог је хипотенуза: $c = \sqrt{4{,}8^2 + 2^2} = \sqrt{23{,}04 + 4} = \sqrt{27{,}04} = 5{,}2$ m.
Угао $\alpha$ је код ивице крова, наспрам висине: $\sin\alpha = \frac{2}{5{,}2} = \frac{5}{13}$ и $\cos\alpha = \frac{4{,}8}{5{,}2} = \frac{12}{13}$ .
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{4{,}8} = \frac{5}{12}$ и $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{4{,}8}{2} = \frac{12}{5}$ .

Одговор: Рогови су дугачки 5,2 m, а $\sin\alpha = \frac{5}{13}$ , $\cos\alpha = \frac{12}{13}$ , $\operatorname{tg}\alpha = \frac{5}{12}$ и $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{12}{5}$ ; нагиб крова је око $22{,}6^\circ$ .

Задатак за вежбу

Катете правоуглог троугла су $a = 20$ cm и $b = 21$ cm. Израчунајте хипотенузу и $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ , $\operatorname{tg}\alpha$ и $\operatorname{ctg}\alpha$ угла $\alpha$ наспрам катете $a$ .

Прикажи решење

$c = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ cm, па је $\sin\alpha = \frac{20}{29}$ , $\cos\alpha = \frac{21}{29}$ , $\operatorname{tg}\alpha = \frac{20}{21}$ и $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{21}{20}$ .