Геометрија – круг 2

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.3)   Тачкама $A$ и $B$ кружница је подељена на два кружна

           лука у размери 5:7. Одреди периферијске углове који одго-

           варају овим кружним луковима.

пр.4)   Из једне крање тачке пречника круга конструисане су тангента

           и сечица које образују угао од $22^\circ 30'$. Одреди централни

           угао над мањим луком између тангенте и сечице.

пр.5)   Два угла тетивног четвороугла износе $67^\circ 40'$ и

           $123^\circ 20'$. Одреди остале углове тог четвороугла.

пр.6)   Два круга се споља додирују у тачки $P$. Нека су $A$ и $B$

           додирне тачке ових кругова са једном заједничком спољашњом

           тангентом. Докажи да је угао $APB$ прав угао.

Пр.3

Нацртаћемо кружницу $k\left( {O,r} \right)$ и одредићемо тачке $A$ и $B$ коje деле кружницу у размери 5:7. Повезаћемо ове тачке с центром  круга. Кружни лук је подељен у размери 5:7, тада је и централни угао подељен у размери 5:7.

Означимо централне углове са  $\alpha$ и $\alpha_1$ , а са $\beta$ и $\beta_1$  периферијске углове.

$$\begin{aligned}&\alpha :{\alpha _1} = 5:7 \\ &\alpha + {\alpha _1} = 360^\circ \\ &\alpha = 5k,{\alpha _1} = 7k \\ &5k + 7k = 360^\circ \\ &12k = 360^\circ \\ &k = 30^\circ \\ &\alpha = 5k = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ \\ &{\alpha _1} = 7k = 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ \\ &\beta = \frac{\alpha }{2} = \frac{{150^\circ }}{2} = 75^\circ \\ &{\beta _1} = \frac{{{\alpha _1}}}{2} = \frac{{210^\circ }}{2} = 105^\circ\end{aligned}$$

Пр.4 Направим слику.

Нека  jе $t$- тангента, а $s$ - jе сечица круга. Потребно је израчунати угао $\alpha$. Знамо да jе угао између тетиве и тангенте jеднак перефериjском углу $\beta$ над истим тетивом.

$$\beta = 22^\circ 30'$$

Перифеоиjски угао jеднак jе половини централног угла над исти луком. Онда

$$\begin{aligned}&\alpha = 2\beta \\ &\alpha = 45^\circ\end{aligned}$$

Пр.5 Направим слику.

Нека  jе $ABCD$ - тетивни четвороугао. Знамо да наспрамни углови код тетивног четвероугла су суплементни $\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ$, а збир датих углова jе $123^\circ 20' + 67^\circ 40' = 191^\circ$, онда нису наспрамни углови, а  они су суседни.

Нека jе $\alpha = 123^\circ 20'$ и $\beta = 67^\circ 40'$

$$\alpha + \gamma = 180^\circ \Rightarrow \gamma = 56^\circ 40'$$

$$\beta + \delta = 180^\circ \Rightarrow \delta = 112^\circ 20'$$

Пр.6 Направим слику.

Потребно доказати да jе $\angle APB = 90^\circ$. Направим заjедничку тангенту ових кругова и добиjем тачку $С$. 

Знамо да тангентне дужи конструисане на кружну линиjу ван ње су jеднаке. Онда су $AC = CP \Rightarrow \vartriangle ACP$ - jе jеднакокраки $\angle CAP = \angle CPA$.

Такође $CP = CB \Rightarrow \vartriangle CPB$- jе jеднакокраки $\angle CPB = \angle CDP$.

$$\vartriangle APB:$$

$$\begin{aligned}&\angle BAP + \angle ABP + \angle BPA = 180^\circ \\ &\angle APC + \angle BPC + \angle APB = 180^\circ \\ &\angle APB + \angle APB = 180^\circ \\ &2\angle APB = 180^\circ \\ &\angle APB = 90^\circ\end{aligned}$$