Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Вектори – примери 4

Вектори, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.10   Дат је паралелограм ABCDABCD и на правој BCBC дата је тачка EE таква да је BB- sred CECE . Ако је вектор AB→=m→\overrightarrow {AB} = \overrightarrow m и AC→=n→\overrightarrow {AC} = \overrightarrow n, изрази векторе BD→\overrightarrow {BD}, CD→\overrightarrow {CD}, DA→\overrightarrow {DA}, BD→\overrightarrow {BD}, AE→\overrightarrow {AE}, CE→\overrightarrow {CE}, DE→\overrightarrow {DE} векторима m→\overrightarrow m и n→\overrightarrow n.

Пр.11   Ако су A1{A_1}, B1{B_1}, и C1{C_1} редом средишта страница BCBC, CACA, ABAB троугла ABCABC и вектори AB→=m→\overrightarrow {AB} = \overrightarrow m, AC→=n→\overrightarrow {AC} = \overrightarrow n изрази векторе AA1→\overrightarrow {A{A_1}} и BB1→\overrightarrow {B{B_1}} векторима m→\overrightarrow m и n→\overrightarrow n.

Пр.10

66

BC→=BA→+AC→=−AB→+AC→=m→+n→CD→=BA→=−AB→=−m→DA→=CB→=−BC→=−(−m→+n→)=m→−n→BD→=BA→+AD→=−m→−DA→=−m→−(m→−n→)=−2m→+n→AE→=AB→+BE→=m→+CB→=m→−BC→=m→−(−m→+n→)=2m→−n→CE→=2CB→=−2BC→=−2(−m→+n→)=2m→−2n→DE→=DA→+AE→=m→−n→+2m→−n→=3m→−2n→\begin{aligned}&\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow m + \overrightarrow n \\ &\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow m \\ &\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {BC} = - \left( { - \overrightarrow m + \overrightarrow n } \right) = \overrightarrow m - \overrightarrow n \\ &\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = - \overrightarrow m - \overrightarrow {DA} = - \overrightarrow m - \left( {\overrightarrow m - \overrightarrow n } \right) = - 2\overrightarrow m + \overrightarrow n \\ &\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow m + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow m - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow m - \left( { - \overrightarrow m + \overrightarrow n } \right) = 2\overrightarrow m - \overrightarrow n \\ &\overrightarrow {CE} = 2\overrightarrow {CB} = - 2\overrightarrow {BC} = - 2\left( { - \overrightarrow m + \overrightarrow n } \right) = 2\overrightarrow m - 2\overrightarrow n \\ &\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow m - \overrightarrow n + 2\overrightarrow m - \overrightarrow n = 3\overrightarrow m - 2\overrightarrow n\end{aligned}

Пр.11

67

AA1→=AB→+BA1→AA1→=AC→+CA1→∣+2AA1→=AB→+BA1→+AC→+CA1→AB→=m→AB→=n→BA1→+CA1→=0→2AA1→=m→+n→∣÷2AA1→=12(m→+n→)\begin{aligned}&\left. \begin{aligned}&\overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{A_1}} \\ &\overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C{A_1}}\end{aligned} \right| + \\ &2\overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{A_1}} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C{A_1}} \\ &\overrightarrow {AB} = \overrightarrow m \\ &\overrightarrow {AB} = \overrightarrow n \\ &\overrightarrow {B{A_1}} + \overrightarrow {C{A_1}} = \overrightarrow 0 \\ &\left. {2\overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow m + \overrightarrow n } \right| \div 2 \\ &\overrightarrow {A{A_1}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow m + \overrightarrow n } \right)\end{aligned}

BB1→=BA→+AB1→BB1→=BC→+CB1→∣+2BB1→=BA→+AB1→+BC→+CB1→AB1→+CB1→=0→2BB1→=−AB→+BA→+AC→=−2m→+n→2BB1→=−2m→+n→∣÷2BB1→=−m→+12n→\begin{aligned}&\left. \begin{aligned}&\overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A{B_1}} \\ &\overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{B_1}}\end{aligned} \right| + \\ &2\overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A{B_1}} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{B_1}} \\ &\overrightarrow {A{B_1}} + \overrightarrow {C{B_1}} = \overrightarrow 0 \\ &2\overrightarrow {B{B_1}} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = - 2\overrightarrow m + \overrightarrow n \\ &\left. {2\overrightarrow {B{B_1}} = - 2\overrightarrow m + \overrightarrow n } \right| \div 2 \\ &\overrightarrow {B{B_1}} = - \overrightarrow m + \frac{1}{2}\overrightarrow n\end{aligned}

Ако m⃗\vec m и n⃗\vec n нису колинеарни, сваки вектор у њиховој равни може се на јединствен начин записати као xm⃗+yn⃗x\vec m + y\vec n. Задатак „изразите вектор преко m⃗\vec m и n⃗\vec n“ решавате тако што нађете пут од почетка до краја вектора дуж дужи чије векторе већ знате. У паралелограму ABCDABCD користите DC→=AB→\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} и AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}, а за обрнут смер мењате знак.

За тежишну дуж из темена AA троугла ABCABC, са AB→=m⃗\overrightarrow{AB} = \vec m и AC→=n⃗\overrightarrow{AC} = \vec n, важи AA1→=12(m⃗+n⃗)\overrightarrow{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec m + \vec n), а из темена BB важи BB1→=−m⃗+12n⃗\overrightarrow{BB_1} = -\vec m + \frac{1}{2}\vec n. Резултат проверите другим путем: оба пута морају дати исти израз.

mnAx·m + y·n
1,5
1
|m|
3
|n|
2,24
|x·m + y·n|
5,85
Сваки вектор у равни добија се као xm⃗+yn⃗x\vec m + y\vec n кад m⃗\vec m и n⃗\vec n нису колинеарни: испрекидане дужи показују колико се иде дуж m⃗\vec m, а колико дуж n⃗\vec n. За x=y=12x = y = \frac{1}{2} добијате тежишну дуж AA1→\overrightarrow{AA_1} из примера. Померите и крајеве вектора m⃗\vec m и n⃗\vec n.

У рачунарској графици и роботици положаји и помераји записују се као комбинације неколико основних вектора, xm⃗+yn⃗x\vec m + y\vec n, па се кретање рачуна сабирањем вектора и множењем бројем.

Цев до средине ограде

Плац има облик правоуглог троугла ABCABC са правим углом код темена AA, где је бунар. Страница ABAB дуга је 45 m, а ACAC 28 m. Цев треба да иде праволинијски од бунара до средине A1A_1 ограде BCBC. Изразите AA1→\overrightarrow{AA_1} преко m⃗=AB→\vec m = \overrightarrow{AB} и n⃗=AC→\vec n = \overrightarrow{AC} и израчунајте дужину цеви.

Решење

  1. Идемо од AA до BB, па пола пута од BB ка CC: AA1→=AB→+12BC→\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.
  2. Како је BC→=BA→+AC→=−m⃗+n⃗\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\vec m + \vec n, добијамо AA1→=m⃗+12(−m⃗+n⃗)=12(m⃗+n⃗)\overrightarrow{AA_1} = \vec m + \frac{1}{2}(-\vec m + \vec n) = \frac{1}{2}(\vec m + \vec n).
  3. Вектори m⃗\vec m и n⃗\vec n су нормални, па је ∣m⃗+n⃗∣|\vec m + \vec n| дијагонала правоугаоника: 452+282=2025+784=2809=53\sqrt{45^2 + 28^2} = \sqrt{2025 + 784} = \sqrt{2809} = 53 m.
  4. Цев је дуга 12⋅53=26,5\frac{1}{2} \cdot 53 = 26{,}5 m, тачно колико и половина ограде BCBC.

Одговор: AA1→=12(m⃗+n⃗)\overrightarrow{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec m + \vec n), а цев је дуга 26,5 m.

Задатак за вежбу

У паралелограму ABCDABCD је AB→=m⃗\overrightarrow{AB} = \vec m и AD→=n⃗\overrightarrow{AD} = \vec n, а EE је средиште странице CDCD. Изразите AE→\overrightarrow{AE} и BE→\overrightarrow{BE} преко m⃗\vec m и n⃗\vec n.

Прикажи решење

AE→=AD→+DE→=n⃗+12m⃗\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \vec n + \frac{1}{2}\vec m, а BE→=BC→+CE→=n⃗−12m⃗\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \vec n - \frac{1}{2}\vec m.