Реални бројеви 4

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.4)   Докажи да је збир било ког двоцифреног природног броја

          и броја написаног истим цифрама, али обрнутим редом,

          дељив са 11.

Пр.5)   Ако је збир два цела броја непаран број, тада је њихов

          производ паран број.

Пр.6)   Ако је $p$ прост број, онда су ${p^3} + 7$ и ${p^2} + 11$ сложени.

Пр.4) Представимо први броj  у облику $\overline {xy} = 10x + y$, а други $\overline {yx} = 10y + x$

Даље 

$$\begin{aligned}&\left. {11} \right|\overline {xy} + \overline {yx} \\ &\left. {11} \right|10x + y + 10y + x \\ &\left. {11} \right|11x + 11y \\ &\left. {11} \right|11\left( {x + y} \right)\end{aligned}$$

Добили смо $$\overline {xy} + \overline {yx} = 11\left( {x + y} \right)$$

Пр.5) Нека су $x,y \in {\rm Z}$, паран броj можемо записати као $2n$, непаран броj можемо записати као $2n + 1$. Онда услов можемо записати као $$x + y = 2n + 1 \Rightarrow xy = 2n$$

$$x = 2n + 1 - y \Rightarrow x \cdot y = \left( {2n + 1 - y} \right)y$$ 

даље ћемо испитивати таj производ у зависности од $y$.

У првом случаjу $y$-паран броj, онда

$x \cdot y = \left( {2n + 1 - y} \right)y$ - паран броj ($2n + 1$ - непаран минус $y$ - паран даje непаран, а непаран броj пута паран броj jе паран).

Кад jе $y$ - непаран броj, производ jе

$x \cdot y = \left( {2n + 1 - y} \right)y$ такође паран.

Пр.6) Нека je р=2 онда $${p^3} + 7 = {2^3} + 7 = 8 + 7 = 15$$

то jе сложен броj.

$${p^2} + 11 = {2^2} + 11 = 4 + 11 = 15$$ истo jе сложан броj.

Нека je р-непаран броj

$$\begin{aligned}&{p^3} + 7 = {\left( непаран \right)^3} + непаран = \\ &= непаран + непаран = паран \Rightarrow сложан \\ &{p^2} + 11 = {\left( непаран \right)^2} + непаран = \\ &= непаран + непаран = паран \Rightarrow сложан\end{aligned}$$