Геометрија – израчунавање углова троугла 1

Троугао. Израчунавње углова. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.1) Симетрала угла на основи једнакокраког троугла заклапа

са наспрамним краком угао од $75^\circ$ . Одреди све унутрашње

и све спољашње углове тог троугла.

пр.2) Ако је угао $\alpha$ троугла $ABC$ $\frac{1}{3}$ одговарајућег спо-

љашњег угла и угао $\beta$ за $15^\circ$ већи од угла $\alpha$ .

Одреди све унутрашње и све спољашње углове тог троугла, као и

$\sphericalangle \left( {{s_\beta },{s_g}} \right)$ .

Пр.1

Једнакокраки троугао је троугао код кога су две странице једнаке и два угла који су на основици у овом троуглу су једнаки. Направим скицу.

Означимо два угла који су на основици са $\alpha$ а трећи угао са $\gamma.$ Означимо тачку пресека симетрале $\angle A$ и наспремне странице са D. Унутрашње углове троугла $\vartriangle ABD$ су $\angle \alpha,$ $\angle \frac{\alpha }{2},$ и $\angle BDA = {75^ \circ. }$

Збир унутрашњих углова у троуглу је 180°.

$\begin{aligned}&\frac{\alpha }{2} + \alpha + {75^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\frac{\alpha }{2} + \frac{{2\alpha }}{2} = {180^ \circ } - {75^ \circ } \\ &\frac{{3\alpha }}{2} = {105^ \circ } \\ &\alpha = {70^ \circ }\end{aligned}$

На исти начин из $\vartriangle ABC$ добићемо $\angle \gamma.$

$\begin{aligned}&\alpha + \alpha + {\gamma ^ \circ } = {180^ \circ } \\ &{140^ \circ } + {\gamma ^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\gamma = {40^ \circ }\end{aligned}$

Израчунамо спољашње углове троугла $\vartriangle ABC.$

$\begin{aligned}&\alpha + \alpha 1 = {180^ \circ } \\ &{70^ \circ } + \alpha 1 = {180^ \circ } \\ &\alpha 1 = {110^ \circ } \\ &\gamma + \gamma 1 = {180^ \circ } \\ &{40^ \circ } + \gamma 1 = {180^ \circ } \\ &\gamma 1 = {140^ \circ }\end{aligned}$

Пр. 2 Направим скицу.

Означимо унутрашње углове троугла са $\alpha,$ $\beta$ и $\gamma,$ а одговараjуће спољашње углове са ${\alpha _1},$ ${\beta _1}$ и ${\gamma _1}.$

Онда

$\begin{aligned}&\alpha = \frac{1}{3}{\alpha _1}\end{aligned}$

Одакле добићемо

$\begin{aligned}&\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &\frac{1}{3}{\alpha _1} + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &\frac{4}{3}{\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {135^ \circ }\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\alpha + {135^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha = {45^ \circ }\end{aligned}$

Даље имамо

$\beta = \alpha + {15^ \circ }$

Одакле добићемо

$\beta = {60^ \circ }$

Онда

$\begin{aligned}&\beta + {\beta _1} = {180^ \circ } \\ &{60^ \circ } + {\beta _1} = {180^ \circ } \\ &{\beta _1} = {120^ \circ }\end{aligned}$

Збир унутрашњих углова у троуглу је 180°, онда

$\begin{aligned}&\alpha + \beta + \gamma = {180^ \circ } \\ &{45^ \circ } + {60^ \circ } + \gamma = {180^ \circ } \\ &\gamma = {75^ \circ }\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\gamma + {\gamma _1} = {180^ \circ } \\ &{75^ \circ } + {\gamma _1} = {180^ \circ } \\ &{\gamma _1} = {105^ \circ }\end{aligned}$

Jош нам jе потребно израчунати угао $\delta$ између симетрале ${s_\beta }$ и ${s_\gamma }.$

Нека је $S$ тачка пресека правих ${s_\beta }$ и ${s_\gamma }.$

За троугао $\vartriangle SBC$ важи да

$\frac{\beta }{2} + \frac{\gamma }{2} + \delta = {180^ \circ }$

${30^\circ } + {37^\circ }30' + \delta = {180^\circ }$

$\delta = {112^ \circ }30'$

Углови троугла рачунају се помоћу неколико правила: збир унутрашњих углова је $180^\circ$ , унутрашњи и одговарајући спољашњи угао су напоредни, $\alpha + \alpha_1 = 180^\circ$ , а збир спољашњих углова је $360^\circ$ . Код једнакокраког троугла углови на основици су једнаки. Угао између симетрала углова $\beta$ и $\gamma$ износи $90^\circ + \frac{\alpha}{2}$ .

Поступак: нацртајте скицу, непознате углове означите словима и потражите мањи троугао у ком знате два угла. Ако симетрала угла $\alpha$ на основици сече крак под углом од $75^\circ$ , из тог троугла је $\frac{\alpha}{2} + \alpha + 75^\circ = 180^\circ$ , па је $\alpha = 70^\circ$ . Пазите: симетрала полови угао, па у мањем троуглу стоји $\frac{\alpha}{2}$ , а не $\alpha$ .

Угао на основици α35°

Угао при врху γ: 110°
δ = ∢ADB: 127,5°
180° − 3α/2: 127,5°

Симетрала дели угао

\alpha

на два дела од по

\frac{\alpha}{2}

, па у троуглу

ABD

угао код

D

износи

\delta = 180^\circ - \frac{3\alpha}{2}

. Пратите да се та два очитавања увек слажу.

Тесари и архитекте рачунају углове једнакокраких троуглова код кровова и забата, а геометри углове троугластих парцела и стаза кроз њих.

Стаза кроз врт

Врт у Сремској Каменици има облик једнакокраког троугла $ABC$ са основицом $AB$ , а угао при врху $C$ је $110^\circ$ . Од темена $A$ води стаза која полови угао код $A$ и излази на страницу $BC$ у тачки $D$ . Колики су углови врта, под којим угловима стаза сече страницу $BC$ и колики су спољашњи углови врта?

Решење

Углови на основици су једнаки: $\alpha = \beta = \frac{180^\circ - 110^\circ}{2} = 35^\circ$ .
Стаза полови угао код $A$ , па је $\measuredangle BAD = \frac{35^\circ}{2} = 17^\circ 30'$ .
Из троугла $ABD$ : $\measuredangle ADB = 180^\circ - 17^\circ 30' - 35^\circ = 127^\circ 30'$ , а напоредни угао је $\measuredangle ADC = 180^\circ - 127^\circ 30' = 52^\circ 30'$ .
Спољашњи углови су $180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$ код $A$ и $B$ и $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ код $C$ ; збир им је $360^\circ$ .

Одговор: Углови врта су $35^\circ$ , $35^\circ$ и $110^\circ$ , стаза сече страницу $BC$ под угловима од $127^\circ 30'$ и $52^\circ 30'$ , а спољашњи углови су $145^\circ$ , $145^\circ$ и $70^\circ$ .

Задатак за вежбу

Унутрашњи угао $\alpha$ троугла $ABC$ једнак је четвртини одговарајућег спољашњег угла, а угао $\beta$ је за $20^\circ$ већи од $\alpha$ . Одредите све унутрашње и спољашње углове и угао између симетрала углова $\alpha$ и $\beta$ .

Прикажи решење

Из $\alpha + 4\alpha = 180^\circ$ следи $\alpha = 36^\circ$ , па је $\beta = 56^\circ$ и $\gamma = 88^\circ$ . Спољашњи углови су $144^\circ$ , $124^\circ$ и $92^\circ$ , а угао између симетрала је $180^\circ - 18^\circ - 28^\circ = 134^\circ$ , што је и $90^\circ + \frac{\gamma}{2}$ .